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i维数

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[求助] 关于一道积分不等式的猜想

如图。第一，第四个可以验证他们的大小关系，其余的就不会了。请大神看看猜想是否正确，怎么证明？谢谢！

猜想积分不等式.png

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1楼2016-02-28 14:08:25

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Edstrayer

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令 $f(n)=\int_0^nx^ne^{-x}dx$ ，则有

$\int_2^{+\infty}x^2e^{-x}dx=\int_0^{+\infty}x^2e^{-x}dx-\int_0^2x^2e^{-x}dx=\frac{10}{e^2}$

$\int_0^3x^2e^{-x}dx=2-\frac{17}{e^3}$

但是，我们有不等式：

$\frac{10}{e^2}>2-\frac{17}{e^3}$

所以就有：

$\int_2^{+\infty}x^2e^{-x}dx>\int_0^3x^2e^{-x}dx$

因此，不等式

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx>\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx$

对n=2成立。

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2楼2016-02-29 01:31:15

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令 $f(n)=\int_0^nx^ne^{-x}dx$ ，则有

$\int x^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kx^{n-k}\right)e^{-x}+Const$

所以就有：

$\int_0^nx^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)e^{-n}+n!$

于是就有：

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx=\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)e^{-n}$

$\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^k(n+1)^{n-k}\right)e^{-(n+1)}+n!$

因此证明不等式：

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx>\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx$

就等价于证明不等式

$\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^k(n+1)^{n-k}>e\left(n!e^n-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)\right)$

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3楼2016-02-29 02:14:39

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引用回帖:

4楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-29 08:55:24
然后又要怎么证明呢？

化成的代数不等式，直接验证对n=1，2，3成立，曾经考虑使用数学归纳法，但是归纳步骤通不过，所以归纳法行不通！能否使用e的幂级数展式呢？…………不知楼主是否有好的方法？

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

5楼2016-03-01 00:28:01

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引用回帖:

6楼: Originally posted by i维数 at 2016-03-01 00:42:03
我也没什么办法。。。比较第一第四个我是利用f(n+x)>f(n-x) 0<x<n,f(x)=x^n*e^(-x).利用e^x的积分型余项可以证得第一第四个不等式等价于1+n+n^2/2+...+n^n/n!>e^n/2,第二第三个等价于1+（n+1)+...+(n ...

我试试

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7楼2016-03-01 00:53:01

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