[求助] 关于一道积分不等式的猜想

» 猜你喜欢

请问有评职称，把科研教学业绩算分排序的高校吗已经有4人回复
孩子确诊有中度注意力缺陷已经有12人回复
2025冷门绝学什么时候出结果已经有3人回复
天津工业大学郑柳春团队欢迎化学化工、高分子化学或有机合成方向的博士生和硕士生加入已经有4人回复
康复大学泰山学者周祺惠团队招收博士研究生已经有6人回复
AI论文写作工具：是科研加速器还是学术作弊器？已经有3人回复
2026博士申请-功能高分子，水凝胶方向已经有6人回复
论文投稿，期刊推荐已经有4人回复
硕士和导师闹得不愉快已经有13人回复
请问2026国家基金面上项目会启动申2停1吗已经有5人回复

1楼2016-02-28 14:08:25

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

令 $f(n)=\int_0^nx^ne^{-x}dx$ ，则有

$\int x^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kx^{n-k}\right)e^{-x}+Const$

所以就有：

$\int_0^nx^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)e^{-n}+n!$

于是就有：

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx=\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)e^{-n}$

$\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^k(n+1)^{n-k}\right)e^{-(n+1)}+n!$

因此证明不等式：

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx>\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx$

就等价于证明不等式

$\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^k(n+1)^{n-k}>e\left(n!e^n-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)\right)$

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2016-02-29 02:14:39

查看全部 9 个回答

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

令 $f(n)=\int_0^nx^ne^{-x}dx$ ，则有

$\int_2^{+\infty}x^2e^{-x}dx=\int_0^{+\infty}x^2e^{-x}dx-\int_0^2x^2e^{-x}dx=\frac{10}{e^2}$

$\int_0^3x^2e^{-x}dx=2-\frac{17}{e^3}$

但是，我们有不等式：

$\frac{10}{e^2}>2-\frac{17}{e^3}$

所以就有：

$\int_2^{+\infty}x^2e^{-x}dx>\int_0^3x^2e^{-x}dx$

因此，不等式

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx>\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx$

对n=2成立。

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2016-02-29 01:31:15

i维数

木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
金币: 3148.6
红花: 10
帖子: 691
在线: 941.9小时
虫号: 3691318
注册: 2015-02-17
性别: GG
专业: 偏微分方程

然后又要怎么证明呢？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

4楼2016-02-29 08:55:24

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

引用回帖:

4楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-29 08:55:24
然后又要怎么证明呢？

化成的代数不等式，直接验证对n=1，2，3成立，曾经考虑使用数学归纳法，但是归纳步骤通不过，所以归纳法行不通！能否使用e的幂级数展式呢？…………不知楼主是否有好的方法？

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

5楼2016-03-01 00:28:01