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i维数

木虫 (正式写手)

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[求助] 关于一道积分不等式的猜想

如图。第一，第四个可以验证他们的大小关系，其余的就不会了。请大神看看猜想是否正确，怎么证明？谢谢！

猜想积分不等式.png

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1楼 2016-02-28 14:08:25

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hank612

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http://www.ams.org/journals/proc ... -1994-1195477-8.pdf

这个问题出乎意料地深刻，需要借助Ramanujan的某个不等式：
若 $\frac{e^n}{2}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{n^k}{k!}+\theta(n)\frac{n^n}{n!}$ , 则有
$\frac{1}{3}\leq \theta(n)\leq \frac{1}{2}$

上文作者 K.P. Choi 证明了图片中的结论，这基本上就可以推出 @i维数的三个不等式。具体推导我尚未完成，楼主不妨花点时间写一下。

Emuch027 median of gamma distribution.png

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We_must_know. We_will_know.

8楼2016-07-08 12:37:34

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Edstrayer

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令 $f(n)=\int_0^nx^ne^{-x}dx$ ，则有

$\int_2^{+\infty}x^2e^{-x}dx=\int_0^{+\infty}x^2e^{-x}dx-\int_0^2x^2e^{-x}dx=\frac{10}{e^2}$

$\int_0^3x^2e^{-x}dx=2-\frac{17}{e^3}$

但是，我们有不等式：

$\frac{10}{e^2}>2-\frac{17}{e^3}$

所以就有：

$\int_2^{+\infty}x^2e^{-x}dx>\int_0^3x^2e^{-x}dx$

因此，不等式

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx>\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx$

对n=2成立。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2016-02-29 01:31:15

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Edstrayer

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令 $f(n)=\int_0^nx^ne^{-x}dx$ ，则有

$\int x^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kx^{n-k}\right)e^{-x}+Const$

所以就有：

$\int_0^nx^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)e^{-n}+n!$

于是就有：

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx=\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)e^{-n}$

$\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^k(n+1)^{n-k}\right)e^{-(n+1)}+n!$

因此证明不等式：

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx>\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx$

就等价于证明不等式

$\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^k(n+1)^{n-k}>e\left(n!e^n-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)\right)$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2016-02-29 02:14:39

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然后又要怎么证明呢？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

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4楼2016-02-29 08:55:24

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