[求助] 求助两道不等式

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1楼2016-02-17 00:36:49

Edstrayer

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第一个不等式中的n从几开始啊？x=0时好像不等式不成立啊！

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2016-02-17 03:50:53

i维数

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2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-02-17 03:50:53
第一个不等式中的n从几开始啊？x=0时好像不等式不成立啊！

额。。好像题目是有点小问题，应该x不为0，或者可以看成极限，n=0,1,2,...

3楼2016-02-17 11:02:57

Edstrayer

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3楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-17 11:02:57
额。。好像题目是有点小问题，应该x不为0，或者可以看成极限，n=0,1,2,......

看成极限也不成立啊（取值范围挖掉零点也不对）
从n的取值可以看出级数中有一项是 $\frac{1}{x^2}$ ，当 $x\to 0+\quad\text{or}\quad x\to 0-$ 级数都趋于无穷大，而不等式右边在这个极限过程中是趋于1的，是一个有界量，不等式肯定不成立

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

4楼2016-02-17 14:53:19

i维数

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4楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-02-17 14:53:19
看成极限也不成立啊（取值范围挖掉零点也不对）
从n的取值可以看出级数中有一项是\frac{1}{x^2}，当x\to 0+\quad\text{or}\quad x\to 0-级数都趋于无穷大，而不等式右边在这个极限过程中是趋于1的，是一个有界量， ...

额。。那个是(1/sinx)^2,不是(cosx)^2

5楼2016-02-17 15:12:00

Edstrayer

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5楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-17 15:12:00
额。。那个是(1/sinx)^2,不是(cosx)^2...

不好意思，看错了

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

6楼2016-02-17 17:38:48

Edstrayer

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右边的不等式可以通过下式得到：

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(x+n\pi)^2}=\frac{1}{\sin^2x}=\csc^2x(0<|x|\leqslant\frac{\pi}{2})$

而上式可以通过计算函数 $f(z)=\frac{\pi\cot\pi z}{(u+z)^2}$ 在圆域 $|z|=N+\frac{1}{2}$ （这里N是自然数， $N\geqslant|u|$ ）上的积分，加上圆内部的f的留数，然后令N趋向无穷得到。

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

7楼2016-02-18 00:02:20

i维数

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7楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-02-18 00:02:20
右边的不等式可以通过下式得到：
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(x+n\pi)^2}=\frac{1}{\sin^2x}=\csc^2x
而上式可以通过计算函数f(z)=\frac{\pi\cot\pi z}{(u+z)^2}在圆域|z|=N+\frac{1}{2}（这里N是自然数 ...

看不懂。。。有没有初等一点的证法呢？

8楼2016-02-18 00:07:39