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i维数

木虫 (正式写手)

[求助] 求助两道不等式

如题，谢谢！

求助两道不等式
不等式.png
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1楼 2016-02-17 00:36:49
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
第一个不等式中的n从几开始啊？x=0时好像不等式不成立啊！
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2016-02-17 03:50:53
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-02-17 03:50:53
第一个不等式中的n从几开始啊？x=0时好像不等式不成立啊！

额。。好像题目是有点小问题，应该x不为0，或者可以看成极限，n=0,1,2,...
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3楼2016-02-17 11:02:57
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
3楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-17 11:02:57
额。。好像题目是有点小问题，应该x不为0，或者可以看成极限，n=0,1,2,......

看成极限也不成立啊（取值范围挖掉零点也不对）
从n的取值可以看出级数中有一项是，当级数都趋于无穷大，而不等式右边在这个极限过程中是趋于1的，是一个有界量，不等式肯定不成立
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2016-02-17 14:53:19
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-02-17 14:53:19
看成极限也不成立啊（取值范围挖掉零点也不对）
从n的取值可以看出级数中有一项是\frac{1}{x^2}，当x\to 0+\quad\text{or}\quad x\to 0-级数都趋于无穷大，而不等式右边在这个极限过程中是趋于1的，是一个有界量， ...

额。。那个是(1/sinx)^2,不是(cosx)^2
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5楼2016-02-17 15:12:00
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
5楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-17 15:12:00
额。。那个是(1/sinx)^2,不是(cosx)^2...

不好意思，看错了
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
6楼2016-02-17 17:38:48
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
右边的不等式可以通过下式得到：


而上式可以通过计算函数在圆域（这里N是自然数，）上的积分，加上圆内部的f的留数，然后令N趋向无穷得到。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
7楼2016-02-18 00:02:20
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-02-18 00:02:20
右边的不等式可以通过下式得到：
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(x+n\pi)^2}=\frac{1}{\sin^2x}=\csc^2x
而上式可以通过计算函数f(z)=\frac{\pi\cot\pi z}{(u+z)^2}在圆域|z|=N+\frac{1}{2}（这里N是自然数 ...

看不懂。。。有没有初等一点的证法呢？
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8楼2016-02-18 00:07:39
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
8楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-18 00:07:39
看不懂。。。有没有初等一点的证法呢？...

这是通过留数定理计算反常积分的方法证明的，初等的证明方法还没有想到，我试试看看能不能想到更初等的证明方法，…………
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
9楼2016-02-18 00:10:39
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
要不试试数学归纳法？(要挖掉零点）
n=0时不等式化为
即，这显然成立。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
10楼2016-02-18 00:35:22
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