[求助] 求助两道不等式

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1楼2016-02-17 00:36:49

Edstrayer

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第一个不等式中的n从几开始啊？x=0时好像不等式不成立啊！

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2016-02-17 03:50:53

Edstrayer

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3楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-17 11:02:57
额。。好像题目是有点小问题，应该x不为0，或者可以看成极限，n=0,1,2,......

看成极限也不成立啊（取值范围挖掉零点也不对）
从n的取值可以看出级数中有一项是 $\frac{1}{x^2}$ ，当 $x\to 0+\quad\text{or}\quad x\to 0-$ 级数都趋于无穷大，而不等式右边在这个极限过程中是趋于1的，是一个有界量，不等式肯定不成立

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

4楼2016-02-17 14:53:19

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5楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-17 15:12:00
额。。那个是(1/sinx)^2,不是(cosx)^2...

不好意思，看错了

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6楼2016-02-17 17:38:48

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右边的不等式可以通过下式得到：

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(x+n\pi)^2}=\frac{1}{\sin^2x}=\csc^2x(0<|x|\leqslant\frac{\pi}{2})$

而上式可以通过计算函数 $f(z)=\frac{\pi\cot\pi z}{(u+z)^2}$ 在圆域 $|z|=N+\frac{1}{2}$ （这里N是自然数， $N\geqslant|u|$ ）上的积分，加上圆内部的f的留数，然后令N趋向无穷得到。

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7楼2016-02-18 00:02:20

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8楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-18 00:07:39
看不懂。。。有没有初等一点的证法呢？...

这是通过留数定理计算反常积分的方法证明的，初等的证明方法还没有想到，我试试看看能不能想到更初等的证明方法，…………

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

9楼2016-02-18 00:10:39

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要不试试数学归纳法？(要挖掉零点）
n=0时不等式化为 $csc^2x-1=\frac{\cos^2x}{\sin^2x}<\frac{1}{x^2}<\frac{1}{\sin^2x}$
即 $\sin^2x<x^2<\tan^2x$ ，这显然成立。

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10楼2016-02-18 00:35:22

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12楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-18 00:54:45
好像行不通...

额，归纳通不过

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13楼2016-02-18 00:55:45