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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 画法几何中关于投影的问题？
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Dawn_Joy

银虫 (初入文坛)

[求助] 画法几何中关于投影的问题？ 已有2人参与

内容有点多，有点复杂，但实际上都是比较基础的，相互之间都是有逻辑关系的，我先放10金币，希望帮我给出严谨的证明过程。回答之后，我会再放40金币（目前金币不够，我会慢慢积攒的）。
谢谢各位大神，麻烦大家了。
1、怎么证明：
        a.直线的投影仍为直线。
        b.直线平行于投射方向时，投影集聚为一点。
（这里所说的投影是指正投影）
2、先给两条性质。
性质1：属于直线的点，它的三个投影分别属于直线的三个投影。
性质2：属于线段的点，分线段之比其投影后保持不变。
我有个疑问，如果有个点在线段的两面投影上，且在两面投影上分线段之比相等，那么这个点是否在线段上。
3、性质：平行两直线在三个投影面的投影分别相互平行，则该两直线平行。当两直线为一般位置直线时，由两个投影面上的投影都分别平行，即可确定该两直线相互平行。
现证明如下：已知ab//cd，a’b’//c’d’，且有投射线Aa//Cc，Aa’//Cc’；则平面AabB//平面CcdD，平面Aa’b’B//Cc’d’D；两对平行平面的交线比相互平行，AB//CD。见图3)
这个地方我有点不明白，为什么当直线为一般位置直线时，由两个投影面上的投影分别平行，就可确定两直线平行。
4、性质：平行两线段之比等于其在三个投影面上的两投影线段之比。
附上证明：若AB//CD，则AB、CD与H面的夹角α相等；于是ab=ABXcosα、cd=CDxcosα，可得ab:cd=AB:CD。同理，a'b':c'd'=a''b'':c''d''=AB:CD。
必须指出，第二条投影特性是以两条直线共面为前提的。例如图3-14b中在平面CcdD上改变CD的位置，使其反向倾斜且保留原长和原夹角α，则两线段之比仍等于其投影之比，但此时直线CD与AB不共面了，所以两条直线就不平行了。
上面这段话是书本原文，我不明白的是为什么这个地方说“第二条投影特性是以两条直线共面为前提的”，不是已经说是平行两线段吗，为什么不直接说成第二条投影特性是以两条直线平行为前提的。
5、图3-15a、c给出两侧平线段DE、FG的两面投影：de//fg、d'e'//f'g'，且de:fg=d'e':f'g'，试判断两线段DE、FG是否平行。
根据平行两线段的第二条投影特性关键是判断两直线是否共面。如图3-15b，连线dg ∩ ef=2，d'g' ∩ e'f'=1，且2和1在同一条投影连线上，说明直线DE与FG共面，且de:fg=d'e':f'g'，则两直线平行。见图5）
我不明白这题的证明过程逻辑，这题是结合2和3来证明的，没看明白是怎么回事？

画法几何中关于投影的问题？
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画法几何中关于投影的问题？-1
5.png
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1楼 2015-11-21 15:54:54
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这些的证明需要用到立体解析几何知识，但没有难度。
先建立三维直角坐标系，给出点O的位置座标和直线L的方程，然后求出点O与直线两个端点A、B的连线与座标面的交点A'和B'的座标。再证明点O与直线上任意点P的连线与座标面的交点P'一定位于A'与B'的连线上即可。
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2楼2015-11-21 19:13:14
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Mr__Right

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
涉及到逻辑推理的证明问题，首先是要概念清楚。

比如，要想证明直线的投影仍为直线或积聚为点，先要给“投影”以合理严格的定义。如果想从几何角度证明，则需要几何的定义；如果要从代数角度证明，则需要对投影有代数形式的定义。

而点在直线上有关的证明，也需要对这个关系本身有一个严格而合理的定义然后才能往下证明。否则只能说，“显而易见”或“一目了然”。

后面涉及概念越清楚具体的命题，证明起来方向越明确，实际上越简单
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文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。
5楼2015-11-22 10:34:20
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Mr__Right

专家顾问 (著名写手)
引用回帖:
10楼: Originally posted by Dawn_Joy at 2015-11-22 21:47:53
这些东西都有严格的定义，随便一本画法几何学都有的。
谢谢你的回答！...

你高估了"画法几何"之类的图书了. 如果真有这么好的定义,证明应该不是问题.

如果有定义却无法证明,说明这些定义还不够好.

比如在代数射影几何里,投影变换可以定义为一个齐次坐标下的降秩的初等矩阵,从而投影过程是线性变换,线性变换保持点在变换之后的共线性,第一个问题就是自然而然的结果了.

你说的画法几何里,有哪个定义能够类似解决你说的证明问题?
赞一下(1人) 回复此楼
文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。
11楼2015-11-23 08:04:06
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晴风丽影

新虫 (初入文坛)
用高中立体几何就能证明了!有些定理还是初中的。

发自小木虫Android客户端
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13楼2015-11-23 20:07:00
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普通回帖

Dawn_Joy

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2015-11-21 19:13:14
这些的证明需要用到立体解析几何知识，但没有难度。
先建立三维直角坐标系，给出点O的位置座标和直线L的方程，然后求出点O与直线两个端点A、B的连线与座标面的交点A'和B'的座标。再证明点O与直线上任意点P的连线与 ...

谢谢你的回答，尽量不要用坐标轴之类的解析几何知识吧，纯几何证明的好些。
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3楼2015-11-21 20:16:29
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maojun1998

银虫 (正式写手)
感觉立体几何

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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wirmüssenwissen.wirwerdeneswissen.
4楼2015-11-21 22:13:18
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D调的沉默

新虫 (初入文坛)
我感觉有点死板吧。。很多东西就是公理，再去纠结没有必要吧。。。。。再者劝你学习些三维软件吧

发自小木虫Android客户端
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6楼2015-11-22 11:03:35
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fangbuddy

新虫 (初入文坛)
新手，金币不够，
请求高手帮忙解答几个困惑：（帮我发个帖或者直接发消息我，感激流涕啊！！！！！！！）
1.立体几何是怎样形成的，立体结构分类的原因是什么？谁定的分类原则？
2.几何体的名字是怎么出来的？
3.正方体，长方体为什么要从棱柱中独立出来？它们其实不是现实中最普遍的几何体啊，
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7楼2015-11-22 12:01:43
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maojun1998

银虫 (正式写手)
大学还有立体几何啊

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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wirmüssenwissen.wirwerdeneswissen.
8楼2015-11-22 12:15:48
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Dawn_Joy

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
6楼: Originally posted by D调的沉默 at 2015-11-22 11:03:35
我感觉有点死板吧。。很多东西就是公理，再去纠结没有必要吧。。。。。再者劝你学习些三维软件吧

这些东西不是公里了，是需要证明的。
谢谢你的回答！
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9楼2015-11-22 21:45:17
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Dawn_Joy

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by Mr__Right at 2015-11-22 10:34:20
涉及到逻辑推理的证明问题，首先是要概念清楚。

比如，要想证明直线的投影仍为直线或积聚为点，先要给“投影”以合理严格的定义。如果想从几何角度证明，则需要几何的定义；如果要从代数角度证明，则需要对投影有 ...

这些东西都有严格的定义，随便一本画法几何学都有的。
谢谢你的回答！
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10楼2015-11-22 21:47:53
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