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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 画法几何中关于投影的问题？
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Dawn_Joy

银虫 (初入文坛)

[求助] 画法几何中关于投影的问题？已有2人参与

内容有点多，有点复杂，但实际上都是比较基础的，相互之间都是有逻辑关系的，我先放10金币，希望帮我给出严谨的证明过程。回答之后，我会再放40金币（目前金币不够，我会慢慢积攒的）。
谢谢各位大神，麻烦大家了。
1、怎么证明：
        a.直线的投影仍为直线。
        b.直线平行于投射方向时，投影集聚为一点。
（这里所说的投影是指正投影）
2、先给两条性质。
性质1：属于直线的点，它的三个投影分别属于直线的三个投影。
性质2：属于线段的点，分线段之比其投影后保持不变。
我有个疑问，如果有个点在线段的两面投影上，且在两面投影上分线段之比相等，那么这个点是否在线段上。
3、性质：平行两直线在三个投影面的投影分别相互平行，则该两直线平行。当两直线为一般位置直线时，由两个投影面上的投影都分别平行，即可确定该两直线相互平行。
现证明如下：已知ab//cd，a’b’//c’d’，且有投射线Aa//Cc，Aa’//Cc’；则平面AabB//平面CcdD，平面Aa’b’B//Cc’d’D；两对平行平面的交线比相互平行，AB//CD。见图3)
这个地方我有点不明白，为什么当直线为一般位置直线时，由两个投影面上的投影分别平行，就可确定两直线平行。
4、性质：平行两线段之比等于其在三个投影面上的两投影线段之比。
附上证明：若AB//CD，则AB、CD与H面的夹角α相等；于是ab=ABXcosα、cd=CDxcosα，可得ab:cd=AB:CD。同理，a'b':c'd'=a''b'':c''d''=AB:CD。
必须指出，第二条投影特性是以两条直线共面为前提的。例如图3-14b中在平面CcdD上改变CD的位置，使其反向倾斜且保留原长和原夹角α，则两线段之比仍等于其投影之比，但此时直线CD与AB不共面了，所以两条直线就不平行了。
上面这段话是书本原文，我不明白的是为什么这个地方说“第二条投影特性是以两条直线共面为前提的”，不是已经说是平行两线段吗，为什么不直接说成第二条投影特性是以两条直线平行为前提的。
5、图3-15a、c给出两侧平线段DE、FG的两面投影：de//fg、d'e'//f'g'，且de:fg=d'e':f'g'，试判断两线段DE、FG是否平行。
根据平行两线段的第二条投影特性关键是判断两直线是否共面。如图3-15b，连线dg ∩ ef=2，d'g' ∩ e'f'=1，且2和1在同一条投影连线上，说明直线DE与FG共面，且de:fg=d'e':f'g'，则两直线平行。见图5）
我不明白这题的证明过程逻辑，这题是结合2和3来证明的，没看明白是怎么回事？

画法几何中关于投影的问题？
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画法几何中关于投影的问题？-1
5.png
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1楼2015-11-21 15:54:54
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Dawn_Joy

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2015-11-21 19:13:14
这些的证明需要用到立体解析几何知识，但没有难度。
先建立三维直角坐标系，给出点O的位置座标和直线L的方程，然后求出点O与直线两个端点A、B的连线与座标面的交点A'和B'的座标。再证明点O与直线上任意点P的连线与 ...

谢谢你的回答，尽量不要用坐标轴之类的解析几何知识吧，纯几何证明的好些。
赞一下 回复此楼
3楼2015-11-21 20:16:29
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这些的证明需要用到立体解析几何知识，但没有难度。
先建立三维直角坐标系，给出点O的位置座标和直线L的方程，然后求出点O与直线两个端点A、B的连线与座标面的交点A'和B'的座标。再证明点O与直线上任意点P的连线与座标面的交点P'一定位于A'与B'的连线上即可。
赞一下(2人) 回复此楼
2楼2015-11-21 19:13:14
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maojun1998

银虫 (正式写手)
感觉立体几何

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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wirmüssenwissen.wirwerdeneswissen.
4楼2015-11-21 22:13:18
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Mr__Right

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
涉及到逻辑推理的证明问题，首先是要概念清楚。

比如，要想证明直线的投影仍为直线或积聚为点，先要给“投影”以合理严格的定义。如果想从几何角度证明，则需要几何的定义；如果要从代数角度证明，则需要对投影有代数形式的定义。

而点在直线上有关的证明，也需要对这个关系本身有一个严格而合理的定义然后才能往下证明。否则只能说，“显而易见”或“一目了然”。

后面涉及概念越清楚具体的命题，证明起来方向越明确，实际上越简单
赞一下(1人) 回复此楼
文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。
5楼2015-11-22 10:34:20
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