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木筷子

新虫 (初入文坛)

[求助] 关于高等数学定义区间的疑问 已有6人参与

函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)上可导。
1.题目中的这个条件要给读者传达什么信息?
2.当a的右导数、b的左导数存在时,f(x)在[a,b]上可导,那一般为什么不说:函数f(x)在[a,b]上连续可导?
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hanma2000

捐助贵宾 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与,应助指数 +1
木筷子: 金币+5, ★★★很有帮助 2015-10-22 22:16:15
在区间端点处不需要可导,只需要连续就够了。

发自小木虫Android客户端
5楼2015-10-22 07:33:13
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

这样给条件表明端点的可导性是未知的,没有给出的条件就不能用
青葱岁月圣诞夜,浪漫歌舞迎新年。
4楼2015-10-22 03:31:30
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ccmmjj126

银虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
楼上例子很好。闭区间连续,开区间可导的函数是可以定义的。y=xsin(1/x)在(0,1]上连续,只要再定义x=0时y=0就得到一个[0,1]上的连续函数,但这个函数在0点是不可导的。这是一个能使定理成立的更弱条件。条件越弱,定理越强,它就是这个意思。明白不?
12楼2015-10-22 22:15:50
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普通回帖

阿行

新虫 (初入文坛)

"连续可导"是一个专门的称呼,它指函数,不但可导,而且导函数连续。
至于所给的条件想表达的意思,就是你读到的内容。当然,微分中值定理在这种背景下可以应用了。
2楼2015-10-21 23:20:56
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
C^0[a,b] is continuous. C^1[a,b] continuously diffrentiable, which is stronger than differentiable

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
小木虫给我温暖,给我希望,爱就要爱小木虫。
3楼2015-10-22 03:18:50
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0404600213

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
比如arcsin和arccos虽然在[-1,1]是连续的,但是在端点出不存在单侧导数
6楼2015-10-22 10:24:08
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
1、条件"函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)上可导",不能单独而论,要跟相关的结论联系起来。因对应果的。
2、在一闭区间的端点只有左、右侧导数,而区间外的另一侧导数不确定,所以对闭间而言,一般不能说"函数f(x)在[a,b]上连续可导"。
另外在说"连续可导"时,一定要注意分别连续、可导两者间的关系。
凡事,一笑而过。。。。。。
7楼2015-10-22 10:31:21
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uvwxmc

金虫 (正式写手)

在一点上可导意味着左导数=右导数,但是按[a,b]上连续能做出的推论,在端点的另外一边都不一定有定义,即使有定义也不一定符合左导=右导的条件,例如一般的分段函数。
8楼2015-10-22 11:32:20
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dfdx

金虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
中值定理,要闭区间连续,开区间可导,就可以成立,端点的导数不存定理也成立!例如y=xsin(1/x)在[0,1]是满足中值定理,
再例y=x∧2sin(1/x)的导数在[0,1]不连续!
我的许多“数学感觉”是错的!

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
9楼2015-10-22 11:52:05
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木筷子

新虫 (初入文坛)

引用回帖:
5楼: Originally posted by hanma2000 at 2015-10-22 07:33:13
在区间端点处不需要可导,只需要连续就够了。

有没有某个函数在[a,b]上连续,(a,b)上可导,但在a点不存在右导数,或者在b点不存在左导数?
10楼2015-10-22 22:11:55
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