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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于高等数学定义区间的疑问
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木筷子

新虫 (初入文坛)

[求助] 关于高等数学定义区间的疑问 已有6人参与

函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导。
1.题目中的这个条件要给读者传达什么信息？
2.当a的右导数、b的左导数存在时，f(x)在[a,b]上可导，那一般为什么不说：函数f(x)在[a,b]上连续可导？
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1楼 2015-10-21 23:13:29
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

hanma2000

捐助贵宾 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
木筷子: 金币+5, ★★★很有帮助 2015-10-22 22:16:15
在区间端点处不需要可导，只需要连续就够了。

发自小木虫Android客户端
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5楼2015-10-22 07:33:13
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
这样给条件表明端点的可导性是未知的，没有给出的条件就不能用
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2015-10-22 03:31:30
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ccmmjj126

银虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
楼上例子很好。闭区间连续，开区间可导的函数是可以定义的。y=xsin(1/x)在（0，1]上连续，只要再定义x=0时y=0就得到一个[0，1]上的连续函数，但这个函数在0点是不可导的。这是一个能使定理成立的更弱条件。条件越弱，定理越强，它就是这个意思。明白不？
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12楼2015-10-22 22:15:50
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普通回帖

阿行

新虫 (初入文坛)
"连续可导"是一个专门的称呼，它指函数，不但可导，而且导函数连续。
至于所给的条件想表达的意思，就是你读到的内容。当然，微分中值定理在这种背景下可以应用了。
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2楼2015-10-21 23:20:56
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
C^0[a,b] is continuous. C^1[a,b] continuously diffrentiable, which is stronger than differentiable

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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小木虫给我温暖，给我希望，爱就要爱小木虫。
3楼2015-10-22 03:18:50
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0404600213

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
比如arcsin和arccos虽然在[-1,1]是连续的，但是在端点出不存在单侧导数
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6楼2015-10-22 10:24:08
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
1、条件"函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导"，不能单独而论，要跟相关的结论联系起来。因对应果的。
2、在一闭区间的端点只有左、右侧导数，而区间外的另一侧导数不确定，所以对闭间而言，一般不能说"函数f(x)在[a,b]上连续可导"。
另外在说"连续可导"时，一定要注意分别连续、可导两者间的关系。
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凡事，一笑而过。。。。。。
7楼2015-10-22 10:31:21
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uvwxmc

金虫 (正式写手)
在一点上可导意味着左导数=右导数，但是按[a,b]上连续能做出的推论，在端点的另外一边都不一定有定义，即使有定义也不一定符合左导=右导的条件，例如一般的分段函数。
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8楼2015-10-22 11:32:20
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dfdx

金虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
中值定理，要闭区间连续，开区间可导，就可以成立，端点的导数不存定理也成立！例如y=xsin(1/x)在[0，1]是满足中值定理，
再例y=x∧2sin(1/x)的导数在[0，1]不连续！
我的许多“数学感觉”是错的！

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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？
9楼2015-10-22 11:52:05
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木筷子

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by hanma2000 at 2015-10-22 07:33:13
在区间端点处不需要可导，只需要连续就够了。

有没有某个函数在[a,b]上连续，(a,b)上可导，但在a点不存在右导数，或者在b点不存在左导数？
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10楼2015-10-22 22:11:55
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