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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 求级数(cos（1/n）)^（n^3）的敛散性
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本帖产生 1 个 数学EPI ，点击这里进行查看

Limy1995

金虫 (小有名气)

[求助] 求级数(cos（1/n）)^（n^3）的敛散性 已有1人参与

级数(cos（1/n）)^（n^3）的敛散性

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1楼 2015-09-17 20:06:07
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回帖置顶 ( 共有1个 )

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

feixiaolin: 数学EPI+1, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=9452448&fpage=1 EPI 2015-10-03 07:56:08
这个级数是发散的。
按照级数收敛的的根值审斂法则（柯西判别法），第n项当n趋于无穷时的极限为:
Lim{Power{[Cos(1/n)]^n^3,1/n},n-->∞}
=Lim{Power{Cos(1/n) , n^2},n-->∞}
=exp{Lim{Ln{Power{Cos(1/n) , n^2}},n-->∞}}
=exp{Lim{ n^2*Ln{Cos(1/n)},n-->∞}}
=exp{Lim{ Ln{Cos(1/n)}/(1/n^2) , n-->∞}}
=exp{Lim{1/2*Sin(1/n)}/(1/n) , n-->∞}}
=sqrt(e)>1
故有上面结论。
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11楼2015-09-21 20:24:29
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

shenyxtata

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Limy1995: 金币+5, ★有帮助 2015-09-18 08:15:23
取对数，然后洛必达法则（或把1/n在0附近泰勒展开）。答案为无穷大。
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4楼2015-09-17 21:05:59
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Limy1995

金虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by shenyxtata at 2015-09-17 21:05:59
取对数，然后洛必达法则（或把1/n在0附近泰勒展开）。答案为无穷大。

这样？
求级数(cos（1/n）)^（n^3）的敛散性



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5楼2015-09-17 22:18:52
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普通回帖

zhangyuab

新虫 (小有名气)
收敛，往零收敛。

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2楼2015-09-17 20:14:33
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Limy1995

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by zhangyuab at 2015-09-17 20:14:33
收敛，往零收敛。

可否发个过程呢？

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3楼2015-09-17 20:21:30
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shenyxtata

金虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by shenyxtata at 2015-09-17 21:05:59
取对数，然后洛必达法则（或把1/n在0附近泰勒展开）。答案为无穷大。

更正：答案为0

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6楼2015-09-18 00:05:28
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shenyxtata

金虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by Limy1995 at 2015-09-17 22:18:52
这样？

...

对

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7楼2015-09-18 00:05:49
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
级数发散，因为
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
8楼2015-09-18 01:44:28
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Limy1995

金虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-09-18 01:44:28
级数发散，因为
\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\cos\frac{1}{n}\right)^{n^3}=+\infty

过程嘞？

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9楼2015-09-18 08:17:04
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陈义chenyi

金虫 (著名写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-09-18 01:44:28
级数发散，因为
\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\cos\frac{1}{n}\right)^{n^3}=+\infty

你错了，指数是负的才是无穷！
是n的平方收敛到非零！

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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1解放公园
10楼2015-09-18 16:26:28
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