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Limy1995

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级数(cos（1/n）)^（n^3）的敛散性

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1楼 2015-09-17 20:06:07

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

feixiaolin: 数学EPI+1, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=9452448&fpage=1 EPI 2015-10-03 07:56:08

这个级数是发散的。
按照级数收敛的的根值审斂法则（柯西判别法），第n项当n趋于无穷时的极限为:
Lim{Power{[Cos(1/n)]^n^3,1/n},n-->∞}
=Lim{Power{Cos(1/n) , n^2},n-->∞}
=exp{Lim{Ln{Power{Cos(1/n) , n^2}},n-->∞}}
=exp{Lim{ n^2*Ln{Cos(1/n)},n-->∞}}
=exp{Lim{ Ln{Cos(1/n)}/(1/n^2) , n-->∞}}
=exp{Lim{1/2*Sin(1/n)}/(1/n) , n-->∞}}
=sqrt(e)>1
故有上面结论。