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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求给定两点上任意阶导数都是0的光滑函数
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
39楼: Originally posted by tigou at 2015-09-10 11:38:52
但是，这样一来就不能保证h(x)在b点的一阶导数等于0了。...

好人做到底吧！

这样，x=a和x=b都是f(x)的可去间断点，补充极限定义即可（这两点的极限不相等，
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
41楼2015-09-10 11:47:37
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xyzabc53122

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

f(x)={exp(-/(x-a)^2)，x≠a,
        {0，x=a
g(x)将上面的a换成b，
h(x)=f(x)(g(x)+1)+1，ok!

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42楼2015-09-10 11:58:29
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拉马之仆

银虫 (小有名气)
引用回帖:
12楼: Originally posted by wurongjun at 2015-09-09 08:46:03
可以做成这样一个!
不知是否有用,你参考一下!
你把两个不等高的直线段光滑拼接一下!

因为楼主要求的函数只是在区间[a,b]上的光滑，也就是说只要求一阶可导，并没有要求高阶可导，那么按照12楼的方法可以构造无数个满足要求的分段函数。
设,
令，作二项式,任取其一原函数，记作
，再作分段函数：

那么就是符合要求的函数。
但是请注意，在点两处高阶不可导，但是它与楼主的要求并不矛盾。
由于满足的初等函数可以随意构造，所以楼主要求的函数有无穷个。
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43楼2015-09-10 12:40:46
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拉马之仆

银虫 (小有名气)
引用回帖:
43楼: Originally posted by 拉马之仆 at 2015-09-10 12:40:46
因为楼主要求的函数只是在区间上的光滑，也就是说只要求一阶可导，并没有要求高阶可导，那么按照12楼的方法可以构造无数个满足要求的分段函数。
设f(a)=A,f(b)=B,
令a< c< d< b，作二项式6(x-c)(x-d),任 ...

。
输入有误。
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44楼2015-09-10 12:47:23
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拉马之仆

银虫 (小有名气)
引用回帖:
44楼: Originally posted by 拉马之仆 at 2015-09-10 12:47:23
f(x)=\left\{\begin{matrix}B &d<x\leqslant b \\ A+B\cdot \frac{g(x)-g(c)}{g(d)-g(c)} &c\leqslant x\leqslant d \\ B & a\leqslant x<c\end{matrix}\right。
输入有误。...


为毛不能编辑？
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45楼2015-09-10 12:52:16
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
41楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-09-10 11:47:37
好人做到底吧！
f(x)=e^{-\frac{1}{(x-a)^2}-\frac{1}{(x-b)^2}}+e^{-\frac{1}{(x-a)^2}},x\in\mathbb{R}-\{a,b\}
这样，x=a和x=b都是f(x)的可去间断点，补充极限定义即可（这两点的极限不相等，f(a)=0,f(b)=e^{ ...

行不通，相当于34楼的变形，漏洞是一样的。
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0/0的意义是所有数的集合
46楼2015-09-10 12:52:50
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拉马之仆

银虫 (小有名气)
引用回帖:
46楼: Originally posted by tigou at 2015-09-10 12:52:50
行不通，相当于34楼的变形，漏洞是一样的。...

请看45楼。请先验算一下，不要忙于下结论。谢谢。
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47楼2015-09-10 12:55:32
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
42楼: Originally posted by xyzabc53122 at 2015-09-10 11:58:29
f(x)={exp(-/(x-a)^2)，x≠a,
        {0，x=a
g(x)将上面的a换成b，
h(x)=f(x)(g(x)+1)+1，ok!

不行，问题依旧。请您仔细计算h在b点的一阶导数。谢谢
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0/0的意义是所有数的集合
48楼2015-09-10 12:56:57
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
47楼: Originally posted by 拉马之仆 at 2015-09-10 12:55:32
请看45楼。请先验算一下，不要忙于下结论。谢谢。...

也谢谢您。请看光滑函数的定义：“光滑函数(smooth function)在数学中特指无穷可导的函数，也就是说，存在所有有限阶导数。”http://baike.baidu.com/link?url= ... ubOR86mbPwXbaPg7gi_
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0/0的意义是所有数的集合
49楼2015-09-10 13:01:19
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
45楼: Originally posted by 拉马之仆 at 2015-09-10 12:52:16
f(x)=\left\{\begin{matrix}B &d<x\leqslant b \\ A+(B-A)\frac{g(x)-g(c)}{g(d)-g(c)} &c\leqslant x\leqslant d \\ B & a\leqslant x<c\end{matrix}\right
为毛不能编辑？...

用\begin{cases}...\end{cases}语句。
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0/0的意义是所有数的集合
50楼2015-09-10 13:02:56
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