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tigou

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[求助] 求给定两点上任意阶导数都是0的光滑函数已有7人参与

设f(x)是区间[a,b]上的光滑函数，a不等于b，且f(a)不等于f(b)，任给正整数n都有
$f^{(n)}(a^+)=f^{(n)}(b^-)=0.$
请问这样的函数是否存在？如存在请给一个具体的例子。如不存在如何证明（个人直觉不存在，但证明不了）。谢谢。

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1楼2015-09-08 11:44:55

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Edstrayer

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

f(x)是光滑函数可能不存在，
如果f(x)是[a,b]上的连续函数，且在（a,b）上除有限个不可导点外处处可导，在x=a和x=b点处任意阶单侧导数都存在且等于零，
这样的函数是存在的
例如

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{-\frac{1}{x^2}}&x\in[0,1)\\linear&x\in[1,2]\\e^{-\frac{1}{(x-3)^2}}&x\in(2,3]\end{array}\right.$

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6楼2015-09-09 02:17:13

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Edstrayer

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看如下的函数例子：

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{8}e^{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{2}x & x\in[0,1]\\ linear & x\in[1,2]\\\frac{3}{8}e^{1-\frac{1}{(x-3)^2}}+\frac{1}{2}(x-3) & x\in[2,3]\end{array}\right.$

则f(x)在区间[0,3]上是处处光滑可导的，且 $f'(0+)=f'(3-)=\frac{1}{2},f^{(n)}(0+)=f^{(n)}(3-)=0(n\geqslant 2)$

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7楼2015-09-09 04:09:07

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【答案】应助回帖

引用回帖:

14楼: Originally posted by tigou at 2015-09-09 10:14:30
这种拼接很可能是无法完成的。也就是说，1楼命题的背后可能隐藏着一个重要的定理。只不过这个定理被前人忽略了。发现这个问题的起因，是我一直在尝试把自然数集上的广义乘光滑地拓展到非负实数集，但无论如何都做不 ...

找到一个合符所有要求的函数之例。如下：

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{-\frac{1}{(x-a)^2}-\frac{1}{(x-b)^2}} & x\in(0,1)\\0 & x=a or x=b\end{array}\right.$

则函数f(x)在区间[a,b]上处处连续光滑（可导）。
且 $f^{(n)}(a)=f^{(n)}(b)=0(n=0,1,2,\cdots)$

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16楼2015-09-10 01:06:41

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引用回帖:

18楼: Originally posted by tigou at 2015-09-10 08:51:28
改写您的例子如下：
f(x)=\exp\left(\frac{1}{(x-a)^2}-\frac{1}{(x-b)^2}\right),x\in(0,1)
请确认您的函数是否如此？...

不是这样的，你丢掉了指数上的一个负号

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24楼2015-09-10 10:32:00

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