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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็

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[交流] 一个看起来简单的不太容易的定积分问题已有9人参与

求如下定积分的解析形式，希望解析形式中不出现变量，即结果只是常量的函数形式。
比如，椭圆积分表达不符合要求。

$\int_{0}^{1}\!{\frac{x\sin\left(x\right)}{\sqrt{{x}^{5}+1}}}\,{\rm{}d}x$

此外：可积性是显然的：

$\int_0^1{\dfrac{x\sin{x}}{\sqrt{x^5+1}}\rm{d}x$

[ Last edited by cooooldog on 2017-7-15 at 18:34 ]

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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็

1楼2015-08-24 08:40:01

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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

Edstrayer

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函数 $f(x)=\frac{x\sin x}{\sqrt{1+x^5}}$ 在区间[0,1]上连续，当然可积，但是精确的积分值却难于计算，只能求近似的数值解。

$\int_0^1\frac{x\sin x}{\sqrt{1+x^5}}dx\approx 0.262551$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

4楼2015-08-25 04:36:30

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feixiaolin

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1）如果能搞出x^2/sqrt(1+x^5)的傅里叶变换解析式，或拉普拉斯变换解析式，次积分可以有解析表达。
2）有限项级数近似。

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3楼2015-08-24 21:48:40

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铸剑人

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在零点展开成无穷级数，泰勒或者傅立叶级数都可以，然后积分就可以了。也是一个求极限的问题。

[ 发自小木虫客户端 ]

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绝尘。

6楼2015-08-25 05:28:23

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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

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引用回帖:

3楼: Originally posted by feixiaolin at 2015-08-24 21:48:40
1）如果能搞出x^2/sqrt(1+x^5)的傅里叶变换解析式，或拉普拉斯变换解析式，次积分可以有解析表达。
2）有限项级数近似。

我尝试符号计算傅立叶变换，然后得到一个很长的很复杂的式子。

到底有多长呢？
我尝试贴图但是传不上来。

把公式排成一列放长安街上，站在公式的尾部，一眼望过去看不到公司的头部

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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็

7楼2015-08-25 07:23:48

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bluesine

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int('x*sin(x)*(x^5+1)^(-1/5)',0,1)

ans =

pi^(1/2)*gamma(4/5)*5^(1/2)*2^(1/5)*(-1)^(1/5)*(1/2/pi^(1/2)*csc(2/5*pi)*sin(1/10*pi)*gamma(4/5)^2/gamma(7/10)^2*hypergeom([],[1/5, 2/5, 1/2, 3/5, 7/10, 7/10, 9/10, 11/10, 6/5],-1/10000000000)-1/24/pi*hypergeom([1],[2/5, 3/5, 7/10, 4/5, 9/10, 9/10, 11/10, 6/5, 13/10, 7/5],-1/10000000000)*tan(3/10*pi)*sin(1/10*pi)*gamma(3/5)/gamma(9/10)+1/720*2^(1/5)/pi*hypergeom([],[3/5, 4/5, 9/10, 11/10, 11/10, 13/10, 7/5, 3/2, 8/5],-1/10000000000)*sin(1/10*pi)*csc(1/5*pi)*csc(2/5*pi)/csc(3/10*pi)*gamma(7/10)-1/60480*2^(1/5)/pi*hypergeom([],[4/5, 11/10, 6/5, 13/10, 13/10, 3/2, 8/5, 17/10, 9/5],-1/10000000000)*csc(2/5*pi)^2*cos(1/5*pi)/csc(3/10*pi)*gamma(7/10)+1/30240000*hypergeom([],[6/5, 13/10, 7/5, 3/2, 3/2, 17/10, 9/5, 19/10, 2],-1/10000000000)*sec(1/10*pi)*cot(1/5*pi)*gamma(3/5)/gamma(9/10)+2*i*pi*(1/4*2^(1/5)/pi^(3/2)*csc(2/5*pi)*sin(1/10*pi)*gamma(9/10)/gamma(7/10)*(-1)^(1/5)*hypergeom([],[1/5, 2/5, 1/2, 3/5, 7/10, 7/10, 9/10, 11/10, 6/5],-1/10000000000)-1/48*2^(4/5)*(-1)^(2/5)/pi^(3/2)*hypergeom([1],[2/5, 3/5, 7/10, 4/5, 9/10, 9/10, 11/10, 6/5, 13/10, 7/5],-1/10000000000)*tan(3/10*pi)*sin(1/10*pi)/gamma(4/5)+1/720*2^(1/5)/pi^2*csc(1/5*pi)*sin(1/10*pi)*sin(3/10*pi)*gamma(7/10)*(-1)^(3/5)*hypergeom([],[3/5, 4/5, 9/10, 11/10, 11/10, 13/10, 7/5, 3/2, 8/5],-1/10000000000)-1/120960*2^(1/5)/pi^2*csc(2/5*pi)*cos(1/5*pi)*gamma(7/10)*(-1)^(4/5)*hypergeom([],[4/5, 11/10, 6/5, 13/10, 13/10, 3/2, 8/5, 17/10, 9/5],-1/10000000000)))

以上为matlab code...有耐心自己去搞定

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板凳要做十年冷文章不发一个字

10楼2015-08-25 08:23:26

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