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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็

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[交流] 一个看起来简单的不太容易的定积分问题已有9人参与

求如下定积分的解析形式，希望解析形式中不出现变量，即结果只是常量的函数形式。
比如，椭圆积分表达不符合要求。

$\int_{0}^{1}\!{\frac{x\sin\left(x\right)}{\sqrt{{x}^{5}+1}}}\,{\rm{}d}x$

此外：可积性是显然的：

$\int_0^1{\dfrac{x\sin{x}}{\sqrt{x^5+1}}\rm{d}x$

[ Last edited by cooooldog on 2017-7-15 at 18:34 ]

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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็

1楼 2015-08-24 08:40:01

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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫

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int('x*sin(x)*(x^5+1)^(-1/5)',0,1)

ans =

pi^(1/2)*gamma(4/5)*5^(1/2)*2^(1/5)*(-1)^(1/5)*(1/2/pi^(1/2)*csc(2/5*pi)*sin(1/10*pi)*gamma(4/5)^2/gamma(7/10)^2*hypergeom([],[1/5, 2/5, 1/2, 3/5, 7/10, 7/10, 9/10, 11/10, 6/5],-1/10000000000)-1/24/pi*hypergeom([1],[2/5, 3/5, 7/10, 4/5, 9/10, 9/10, 11/10, 6/5, 13/10, 7/5],-1/10000000000)*tan(3/10*pi)*sin(1/10*pi)*gamma(3/5)/gamma(9/10)+1/720*2^(1/5)/pi*hypergeom([],[3/5, 4/5, 9/10, 11/10, 11/10, 13/10, 7/5, 3/2, 8/5],-1/10000000000)*sin(1/10*pi)*csc(1/5*pi)*csc(2/5*pi)/csc(3/10*pi)*gamma(7/10)-1/60480*2^(1/5)/pi*hypergeom([],[4/5, 11/10, 6/5, 13/10, 13/10, 3/2, 8/5, 17/10, 9/5],-1/10000000000)*csc(2/5*pi)^2*cos(1/5*pi)/csc(3/10*pi)*gamma(7/10)+1/30240000*hypergeom([],[6/5, 13/10, 7/5, 3/2, 3/2, 17/10, 9/5, 19/10, 2],-1/10000000000)*sec(1/10*pi)*cot(1/5*pi)*gamma(3/5)/gamma(9/10)+2*i*pi*(1/4*2^(1/5)/pi^(3/2)*csc(2/5*pi)*sin(1/10*pi)*gamma(9/10)/gamma(7/10)*(-1)^(1/5)*hypergeom([],[1/5, 2/5, 1/2, 3/5, 7/10, 7/10, 9/10, 11/10, 6/5],-1/10000000000)-1/48*2^(4/5)*(-1)^(2/5)/pi^(3/2)*hypergeom([1],[2/5, 3/5, 7/10, 4/5, 9/10, 9/10, 11/10, 6/5, 13/10, 7/5],-1/10000000000)*tan(3/10*pi)*sin(1/10*pi)/gamma(4/5)+1/720*2^(1/5)/pi^2*csc(1/5*pi)*sin(1/10*pi)*sin(3/10*pi)*gamma(7/10)*(-1)^(3/5)*hypergeom([],[3/5, 4/5, 9/10, 11/10, 11/10, 13/10, 7/5, 3/2, 8/5],-1/10000000000)-1/120960*2^(1/5)/pi^2*csc(2/5*pi)*cos(1/5*pi)*gamma(7/10)*(-1)^(4/5)*hypergeom([],[4/5, 11/10, 6/5, 13/10, 13/10, 3/2, 8/5, 17/10, 9/5],-1/10000000000)))

以上为matlab code...有耐心自己去搞定

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板凳要做十年冷文章不发一个字

10楼2015-08-25 08:23:26

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bluesine

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iint('x*sin(x)*(x^5+1)^(-1/2)',0,1)

ans =

10^(1/2)*pi*(-1)^(1/5)*(2^(1/10)*sec(3/10*pi)*csc(2/5*pi)*sin(1/10*pi)^2*gamma(4/5)/pi*gamma(9/10)/gamma(7/10)*hypergeom([],[1/5, 2/5, 1/2, 11/20, 3/5, 7/10, 9/10, 21/20, 11/10],-1/10000000000)-1/30*2^(1/2)/pi*hypergeom([1],[2/5, 3/5, 7/10, 3/4, 4/5, 9/10, 11/10, 6/5, 5/4, 13/10],-1/10000000000)*tan(3/10*pi)*csc(2/5*pi)*sin(1/10*pi)+1/5400*2^(9/10)*hypergeom([],[3/5, 4/5, 9/10, 19/20, 11/10, 13/10, 7/5, 29/20, 3/2],-1/10000000000)*tan(1/10*pi)*csc(1/5*pi)^2*sin(3/10*pi)*gamma(7/10)/gamma(4/5)/gamma(9/10)-1/24570*2^(3/10)/pi*hypergeom([],[4/5, 11/10, 23/20, 6/5, 13/10, 3/2, 8/5, 33/20, 17/10],-1/10000000000)*tan(3/10*pi)*csc(2/5*pi)^2*cos(1/5*pi)*sin(1/10*pi)*gamma(7/10)*gamma(9/10)/gamma(3/5)+1/35985600*2^(7/10)*hypergeom([],[6/5, 13/10, 27/20, 7/5, 3/2, 17/10, 9/5, 37/20, 19/10],-1/10000000000)*sec(1/10*pi)*cot(1/5*pi)*gamma(3/5)/gamma(7/10)/gamma(9/10)+2*i*pi*(2^(1/10)/pi^2*csc(2/5*pi)*sin(1/10*pi)^2*gamma(4/5)*gamma(9/10)/gamma(7/10)*(-1)^(1/5)*hypergeom([],[1/5, 2/5, 1/2, 11/20, 3/5, 7/10, 9/10, 21/20, 11/10],-1/10000000000)-1/30*2^(1/2)*(-1)^(2/5)/pi^2*hypergeom([1],[2/5, 3/5, 7/10, 3/4, 4/5, 9/10, 11/10, 6/5, 5/4, 13/10],-1/10000000000)*tan(3/10*pi)*sin(1/10*pi)+1/5400*2^(9/10)/pi*csc(1/5*pi)^2*sin(1/10*pi)/gamma(4/5)/gamma(9/10)*sin(3/10*pi)*gamma(7/10)*(-1)^(3/5)*hypergeom([],[3/5, 4/5, 9/10, 19/20, 11/10, 13/10, 7/5, 29/20, 3/2],-1/10000000000)-1/24570*2^(3/10)/pi^2*csc(2/5*pi)^2*cos(1/5*pi)/gamma(3/5)*sin(3/10*pi)*gamma(7/10)*sin(1/10*pi)*gamma(9/10)*(-1)^(4/5)*hypergeom([],[4/5, 11/10, 23/20, 6/5, 13/10, 3/2, 8/5, 33/20, 17/10],-1/10000000000)))

上面那个错了，这里更正了，（）^(-1/2)。。。。。依然很长，哈哈哈哈哈

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11楼2015-08-25 08:26:34

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