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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 怎样求解我这个简单积分，哪位大神帮忙，小弟谢过啦
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阳光男孩羊

铜虫 (小有名气)

[求助] 怎样求解我这个简单积分，哪位大神帮忙，小弟谢过啦 已有2人参与

帮我求求这个式子吧，万分感谢

怎样求解我这个简单积分，哪位大神帮忙，小弟谢过啦
P50804-100310.jpg
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1楼 2015-08-04 10:13:54
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
5楼: Originally posted by 阳光男孩羊 at 2015-08-04 19:58:44
恩恩，那大神数值积分怎么计算啊？我没写的参数都是定值，不用管...

要计算数值，就要先把不定积分改为定积分：Integral{dφ/sqrt[Sin(φ)] , α0, α}=C'- β*t
其中为直线的初始位置的角度；α为t时刻直线的位置的角度。当α=π/2时直线就转到了X轴的位置。
由 t=0时α=α0，故代入方程中后得：C'=0
故：Integral{dφ/sqrt[Sin(φ)] , α0, α}=- β*t
当=π/2时，t=T
T=-1/β*Integral{dφ/sqrt[Sin(φ)] , α0, π/2}
现在用高斯勒让德数值计分方法计算。
令φ=(α0+π/2)/2+(π/2-α0)/2*ξ ,dφ=(π/2-α0)/2*dξ
原积分=-1/β*Integral{(π/2-α0)/2*dξ/Sin[(α0+π/2)/2+(π/2-α0)/2*ξ] ,-1 , 1}
=-(π/2-α0)/(2*β)*Integral{dξ/Sin[(α0+π/2)/2+(π/2-α0)/2*ξ] ,-1 , 1}
=-(π/2-α0)/(2*β)*Integral{dξ/f(ξ) ,-1 , 1}
=-(π/2-α0)/(2*β)*Sum{δk*1/f(ηk), k=1~n}
其中，n为高斯点数量，根据需要选取。原则是计算精度要求高时可多取，反之可少取。δk为插值点ηk处对应的被积函数的值的系数。
比如，n=1时，η=0,δ=2；若n=2,则η1=-1/sqrt(3),δ1=1,η2=1/sqrt(3),δ2=1 ;n=3时，......。具体可参考下面链接：
http://wenku.baidu.com/link?url= ... RZmLWeZFFALlBgoKTvC
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6楼2015-08-04 20:34:59
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普通回帖

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
由于φ(t)是逐渐减小的，因此dφ/dt=-ω(t)=-β*sqrt[Sin(φ)] ,这里的β代表前面的系数，由于楼主的图片不清晰，只好用这个代替了。
dφ/sqrt[Sin(φ)]=-ω(t)=-β*dt
Integral{dφ/sqrt[Sin(φ)]}=C'-β*t
C' 为积分常数。
左边的积分中，令t=tan(φ/2)可得：
Integral{dt/sqrt[t*(1+t^2)]}=C-β/sqrt(2)*t
俄国数学家切比雪夫在一百年前就已经证明，这种积分是不能够用初等函数表示的，也就是积不出来的。只能够借助数值积分方法了。
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2楼2015-08-04 11:26:44
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

越接近x轴，角速度越慢并无限向零靠近，如此下去这个直线可能永远也到不了x轴。
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3楼2015-08-04 11:33:42
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阳光男孩羊

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by peterflyer at 2015-08-04 11:33:42
越接近x轴，角速度越慢并无限向零靠近，如此下去这个直线可能永远也到不了x轴。

不会吧，肯定能算近似值吧
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4楼2015-08-04 19:57:29
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阳光男孩羊

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2015-08-04 11:26:44
由于φ(t)是逐渐减小的，因此dφ/dt=-ω(t)=-β*sqrt ,这里的β代表前面的系数，由于楼主的图片不清晰，只好用这个代替了。
dφ/sqrt=-ω(t)=-β*dt
Integral{dφ/sqrt}=C'-β*t
C' 为积分常数。
左边的积分中， ...

恩恩，那大神数值积分怎么计算啊？我没写的参数都是定值，不用管
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5楼2015-08-04 19:58:44
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阳光男孩羊

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by peterflyer at 2015-08-04 20:34:59
要计算数值，就要先把不定积分改为定积分：Integral{dφ/sqrt , α0, α}=C'- β*t
其中为直线的初始位置的角度；α为t时刻直线的位置的角度。当α=π/2时直线就转到了X轴的位置。
由 t=0时α=α0，故代入方程中 ...

大神，我是菜鸟，还是不懂。能帮人帮到底吗？我很急啊，万分感谢。结果到底是什么啊？
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7楼2015-08-05 08:57:02
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
7楼: Originally posted by 阳光男孩羊 at 2015-08-05 08:57:02
大神，我是菜鸟，还是不懂。能帮人帮到底吗？我很急啊，万分感谢。结果到底是什么啊？...

比如就取两个点，n=2。为简化计算，假设α0=0，积分式里的系数β=1。那么就得到：
原式=-π/4*{1*1/Sin{π/4+π/4*[-1/sqrt(3)]｝+1*1/Sin{π/4+π/4*[1/sqrt(3)]}}
      =具体算出数字
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8楼2015-08-05 09:24:32
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阳光男孩羊

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by peterflyer at 2015-08-05 09:24:32
比如就取两个点，n=2。为简化计算，假设α0=0，积分式里的系数β=1。那么就得到：
原式=-π/4*{1*1/Sin{π/4+π/4*｝+1*1/Sin{π/4+π/4*}}
      =具体算出数字...

积分里的β是个初始角，不能先赋值吧？我想得到一个含有β的式子
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9楼2015-08-12 09:26:52
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
9楼: Originally posted by 阳光男孩羊 at 2015-08-12 09:26:52
积分里的β是个初始角，不能先赋值吧？我想得到一个含有β的式子...

这个只是积分的系数，不是你那个β角。
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10楼2015-08-12 11:52:51
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