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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 上确界的比较问题
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tigou

木虫 (正式写手)
为了突出c能否将开区间分割出一个空集的思想，本楼提一个相关的新命题。
命题2：设f在开区间上(a,b)上有定义，则
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0/0的意义是所有数的集合
11楼2015-07-25 07:02:37
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
不知道是否可行
对任意的c，a<c<b,
1) 对任意的 y, a<y<c
显然有
E=lim[sup(f(x): d<x<b)] (d-->a)  > f(y)
即E 是 f(x) a<x<c的一个上界，所以E大于或等于f(x)在（a,c)上的上确界
2）
因为1）中对任意的c都成立，所以结论成立
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12楼2015-07-26 18:14:04
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
12楼: Originally posted by math2000 at 2015-07-26 18:14:04
不知道是否可行
对任意的c，a<c<b,
1) 对任意的 y, a<y<c
显然有
E=lim (d-->a)  > f(y)
即E 是 f(x) a<x<c的一个上界，所以E大于或等于f(x)在（a,c)上的上确界
2）
因为1）中对任 ...

谢谢关注此问题。但“显然”不能代表证明，您的步骤1并没有比命题1或者命题2增加任何新的内容。这里需要的是从极限和上确界的定义出发，严格导出或者推翻命题。其中的任何步骤都不能用“显然”来代替。
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0/0的意义是所有数的集合
13楼2015-07-27 09:21:31
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
tigou: 金币+5, ★★★★★最佳答案, 谢谢。和我想到一起了。命题1和2的背后似乎蕴含着一个共同的结论，实数集的连续子集如果是零测集，则只能是空集或者单点集。 2015-07-27 10:17:27
引用回帖:
13楼: Originally posted by tigou at 2015-07-27 09:21:31
谢谢关注此问题。但“显然”不能代表证明，您的步骤1并没有比命题1或者命题2增加任何新的内容。这里需要的是从极限和上确界的定义出发，严格导出或者推翻命题。其中的任何步骤都不能用“显然”来代替。...

第一步没有写清楚，漏了
应该是
E=limsup{f(x)|d<=x<b}  （d-->c） 大于或等于f(y)


即你的命题2是显然成立的，因为对任意的a<x<b,此时一定可以找到一个c，a<c<b
使得 c<x
所以sup{f(x)|c<=x<b} >=f(x)
而g(c)=sup{f(x)|c<=x<b}关于c是单调减少的，所以其极限
limsup{f(x)|c<=x<b} （c-->a）>=f(x)
即其极限limsup{f(x)|c<=x<b} （c-->a）是f(x) a<x<b的一个上界，由上确界的定义知，你的命题2成立
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14楼2015-07-27 10:04:15
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呆呆小宙斯

铜虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
α=sup{f(x) c<x<b} >= lim(x->c+)f(x)
β=sup{f(x)  a<x<c}    lim β(c->a)=lim(x->a+)f(x)
故α>=β
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15楼2015-07-27 10:15:18
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aunwt

新虫 (初入文坛)
极限不存在怎么办呢 lz打算
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16楼2015-07-27 18:04:00
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
16楼: Originally posted by aunwt at 2015-07-27 18:04:00
极限不存在怎么办呢 lz打算

14楼已经提到，那个是单调函数，必有极限(增广实数集内)。

[ 发自小木虫客户端 ]
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0/0的意义是所有数的集合
17楼2015-07-27 19:52:31
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sherlockdace

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
11楼: Originally posted by tigou at 2015-07-25 07:02:37
为了突出c能否将开区间分割出一个空集的思想，本楼提一个相关的新命题。
命题2：设f在开区间上(a,b)上有定义，则
\lim_{c\to a}\sup\{f(x)|c\le x<b\}=\sup\{f(x)|a<x<b\}~....

显然左边<=右边
如果左边<右边，那么存在a<z<b,s.t. f(z)<右边，且f(z)>左边。很容易得出矛盾
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18楼2015-07-29 20:15:24
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