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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 应用数学与力学 » 圆的半径和圆心角
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jiyude

木虫 (正式写手)

[求助] 圆的半径和圆心角已有2人参与

已知弧长36.7米，拱高10.4米的圆弧，求圆的半径和圆心角（最好附带Matlab程序）。怎么限制x是锐角？

clear all;
syms x y
[x,y]=solve('2*x*y-36.7=0','y*(1-cos(x))-10.4=0','x','y');
solution=[x,y]
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努力努力
1楼2015-07-14 16:59:14
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
CODE:
s=36.7;h=10.4;  r=fsolve(@(r)2*h^2+1-4*h*r-cos(s/r),4.1)
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
2楼2015-07-15 06:30:15
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็
1. 这种问题不太可能得到符号解，只能数值求解。
2. 锐角也无法限制，只能通过添加 r 与 h 关系的约束确定是优弧劣弧，比如 r > h >0 , 0<h<2r
3. 综合看，你的问题更适合用带约束条件的非线性最优化来解决，或者求单个根的数值方法。

具体条件根据自己的要求琢磨
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
3楼2015-07-15 06:37:46
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็

【答案】应助回帖

前面的公式写错了，结果会错误。

纠正关于 半径 的0值函数为：



绘出它的图像可以看出有三个根适用：

圆的半径和圆心角

如果用Matlab求数值解，则带信赖域的牛顿法初值很重要，决定解
代码仍旧类似

初值为1，则结果是
CODE:
s=36.7;h=10.4; x0=1; r=fsolve(@(r)2*h^2+r^2-4*h*r-r^2*cos(s/r),x0); disp(num2str(r, '% 16.9f'))

得到 5.323271244

初值10
CODE:
s=36.7;h=10.4; x0=10;r=fsolve(@(r)2*h^2+r^2-4*h*r-r^2*cos(s/r),x0);disp(num2str(r,'%16.9f'))

得到
11.183055764

初值18
CODE:
s=36.7;h=10.4; x0=18;r=fsolve(@(r)2*h^2+r^2-4*h*r-r^2*cos(s/r),x0);disp(num2str(r,'%16.9f'))

得到
13.999546228
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
4楼2015-07-15 07:13:10
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
设半径为r，对应的圆心角为θ，由题意有：
r*θ=36.7                                          (1)
r*[1-Cos(θ/2)]=10.4                           (2)
先假设0<θ<π/2,
由泰勒公式，先只取三项：
1-Cos(θ/2)≈1/8*θ^2-1/384*θ^4         (3)
（1）、（3）代入方程（2）：
θ*[θ^3-64*θ+108.8174]=0
由θ≠0，故：
θ^3-64*θ+108.8174=0
由函数知识可分析得到：它在-8/sqrt(3)有极大值305.8863，在8/sqrt(3)有极小值-88.2515。而在这个区间里函数单调下降，故有一个且只有一个根。8=0时函数值为108.8174；为π/2时为12.1622，故不存在此区域的根。
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5楼2015-07-15 13:29:09
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็
引用回帖:
4楼: Originally posted by cooooldog at 2015-07-15 07:13:10
前面的公式写错了，结果会错误。

纠正关于 半径 r的0值函数为：

f(r)=r^2+r^2 \left(-\cos \left(\dfrac{36.7}{r}\right)\right)-41.6 r+216.32

绘出它的图像可以看出有三个根适用：



如果用Matlab求 ...

太小的根应该去掉; 因为导致s/r>2Pi显然不合理

看上去两个近似解

而 s/h <大约5.36 时 不存在锐角的可能, 反求也只能找到临界比值的近似解.
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
6楼2015-07-16 06:25:10
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็
引用回帖:
6楼: Originally posted by cooooldog at 2015-07-16 06:25:10
太小的根应该去掉; 因为导致s/r>2Pi显然不合理

看上去两个近似解

而 s/h <大约5.36 时 不存在锐角的可能, 反求也只能找到临界比值的近似解....

应该是弧长与拱高之比小于则不会有锐角
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
7楼2015-07-16 06:34:42
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
jiyude: 金币+10 2015-07-18 09:23:59
引用回帖:
7楼: Originally posted by cooooldog at 2015-07-16 06:34:42
应该是弧长与拱高之比小于\dfrac{\pi }{2-\sqrt{2}}\approx 5.363则不会有锐角...

应该是只有唯一解;

三个解中, 第一个不满足角度条件

第二个得到角度为优弧,高度为劣弧,也不是正确解

第三个是唯一正确的, 作图出来是:

圆的半径和圆心角-1
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
8楼2015-07-16 10:04:23
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