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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 求助如何证明以下结论，悬赏金币50
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yangyugdzs

金虫 (小有名气)

[求助] 求助如何证明以下结论，悬赏金币50

如题
求助如何证明以下结论，悬赏金币50
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1楼 2015-05-05 13:32:34
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by yangyugdzs at 2015-05-06 21:25:52
...

我们先看一个引理:  , 对任意x>0, 1>a>0.

这个引理的意思是, 当有两个指数函数相加,并且要求(非负)幂次的和恒定, 那么当幂次一个为零,另一个最大时, 和函数最大, .

那楼主仔细想想不等式右侧,假如固定除了相邻的一对之外的其他指标, 又保持不变, 那么不等式左侧值是不变的, 而不等式右侧的值当且仅当其中一个, 另一个等于时最大(具体哪个值清零要视情况而定).

这么多来几下, 右端最大值只能在一个n_i等于全部和, 其余n_i均为零时取到. 而这个和就是等于 (k-j)个1加上 j个 , 就是不等式左端. 可是由于你要求最少有两个非零的n_i, 所以最大值是取不到的, 即不等式是严格大于号的.

指数函数以e为底和以2为底完全没差, 只要每个n_i都乘以ln2变成就知道了.
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We_must_know. We_will_know.
4楼2015-05-07 02:23:37
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
你可以把不等式右边最后一项
清晰地写出来么? 比如说, k=3, j=1, 你的不等式是什么样子的? 谢谢.
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We_must_know. We_will_know.
2楼2015-05-06 04:39:04
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yangyugdzs

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2015-05-06 04:39:04
你可以把不等式右边最后一项
2^{\sum_{i=k}^{j+k-1}n_i} 清晰地写出来么? 比如说, k=3, j=1, 你的不等式是什么样子的? 谢谢.

求助如何证明以下结论，悬赏金币50-1
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3楼2015-05-06 21:25:52
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yangyugdzs

金虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by hank612 at 2015-05-07 02:23:37
我们先看一个引理:  e^x+1>e^{ax}+e^{(1-a)x}, 对任意x>0, 1>a>0.

这个引理的意思是, 当有两个指数函数相加,并且要求(非负)幂次的和恒定, 那么当幂次一个为零,另一个最大时, 和函数最大, e^{A}+e^{ ...

谢谢，忘了补充一点每个n_i 都是整数，也就是n_{j} (j=1,2,\dots,k) 为非负整数，且至少有两个是非零的, 且n_{k+i}=n_i (i=1,2,\dots,k), k>=3, 此外兄弟能否仔细讲解一下，或者私信发给我，看的有点比较模糊。
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5楼2015-05-07 09:25:43
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by yangyugdzs at 2015-05-07 09:25:43
谢谢，忘了补充一点每个n_i 都是整数，也就是n_{j} (j=1,2,\dots,k) 为非负整数，且至少有两个是非零的, 且n_{k+i}=n_i (i=1,2,\dots,k), k>=3, 此外兄弟能否仔细讲解一下，或者私信发给我，看的有点比较模糊。...

抱歉我写的不严格。

我举个例子，k=5, j=3, (n1,n2,n3,n4,n5)=(1,3,2,2,3)

那么N1=4, N2=0, 其他不变，


然后N3=0,N4=4, 其他不变，


然后N4=0,N5=7, 其他不变，


然后N1=0,N5=11, 其他不变，


这就是左边。
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6楼2015-05-07 11:28:25
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yangyugdzs

金虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by hank612 at 2015-05-07 11:28:25
抱歉我写的不严格。

我举个例子，k=5, j=3, (n1,n2,n3,n4,n5)=(1,3,2,2,3)

那么N1=4, N2=0, 其他不变，
e^6+e^7+e^7+e^6+e^7<e^6+e^{0+2+2}+e^7+e^{2+3+4}+e^7

然后N3=0,N4=4, 其他不变，
e^6+e^4+e ...

看了半天，还是不明白你写的是什么意思 ：（ 这个跟原始的有什么关系，原始的要求是对所有的  1<=j<=k-1 ， k>3 都成立，你这个跟题目要求有什么关系，能否把完整的过程写出来，O(∩_∩)O谢谢
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7楼2015-05-07 13:23:42
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
feixiaolin: 金币+15 2015-05-11 17:59:25
引用回帖:
7楼: Originally posted by yangyugdzs at 2015-05-07 13:23:42
看了半天，还是不明白你写的是什么意思 ：（ 这个跟原始的有什么关系，原始的要求是对所有的  1<=j<=k-1 ， k>3 都成立，你这个跟题目要求有什么关系，能否把完整的过程写出来，O(∩_∩)O谢谢...

楼主可以用算法来简单暴力破解. 前提: 当A>0,B>0, A+B>C>max(A,B)时, 有 和

条件: 集合S={e^{x1}, e^{x2},...,e^{xk}},T=空集. 其中每个xi非负. 给定常数C, C>=max(x1,x2,...,xk)

步骤:
(1) 如果x1+x2<=C, 将 e^{x1}, e^{x2}替换成 1, e^{x1+x2};
如果 x1+x2>C, 将e^{x1}, e^{x2}替换成 e^C, e^{x1+x2-C}.
(2)将(1)得到的1或者e^C从S中删除,转移到T中.
(3) 重复步骤(1), 直到S只剩一个元素{e^y}, 这时候必然有0<=y<=C.
如果y=0或C, 仍然将1或者e^C从S中挪到T中.

结论: e^{x1}+e^{x2}+...+e^{xk} < e^y +(T中元素的和).
照楼主的假设, S刚好为空集, 而T中有(k-j)个1, j个e^C, 其中C=n1+n2+...+nk. 这里不需要设ni为整数, 只要ni非负即可.另外,幂函数的底不必等于2, 可以用任意大于1的正数a替代,结论照样成立.
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8楼2015-05-08 02:50:35
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yangyugdzs

金虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by hank612 at 2015-05-08 02:50:35
楼主可以用算法来简单暴力破解. 前提: 当A>0,B>0, A+B>C>max(A,B)时, 有e^A+e^B<1+e^{A+B} 和e^A+e^B<e^C+e^{A+B-C}

条件: 集合S={e^{x1}, e^{x2},...,e^{xk}},T=空集. 其中每个xi非负. 给定 ...

兄弟好像没有正确理解题目的意思，给出的好像不是想要的，我再想想。不过还是很谢谢您！ ：)
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9楼2015-05-11 13:00:40
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yangyugdzs

金虫 (小有名气)
按照hank612兄弟的思路是步步缩进，但是没有理解题目的意思，所以解答的不是想要的结果，再考虑一下........
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10楼2015-05-11 13:21:56
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