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yangyugdzs

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[求助] 求助如何证明以下结论，悬赏金币50

如题

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1楼 2015-05-05 13:32:34

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hank612

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5楼: Originally posted by yangyugdzs at 2015-05-07 09:25:43
谢谢，忘了补充一点每个n_i 都是整数，也就是n_{j} (j=1,2,\dots,k) 为非负整数，且至少有两个是非零的, 且n_{k+i}=n_i (i=1,2,\dots,k), k>=3, 此外兄弟能否仔细讲解一下，或者私信发给我，看的有点比较模糊。...

抱歉我写的不严格。

我举个例子，k=5, j=3, (n1,n2,n3,n4,n5)=(1,3,2,2,3)

那么N1=4, N2=0, 其他不变，
$e^6+e^7+e^7+e^6+e^7<e^6+e^{0+2+2}+e^7+e^{2+3+4}+e^7$

然后N3=0,N4=4, 其他不变，
$e^6+e^4+e^7+e^9+e^7<e^{4+0+0}+e^4+e^7+e^{4+3+4}+e^7$

然后N4=0,N5=7, 其他不变，
$e^4+e^4+e^7+e^{11}+e^7<e^4+e^{0+0+0}+e^7+e^{11}+e^{7+4+0}$

然后N1=0,N5=11, 其他不变，
$e^4+1+e^7+e^{11}+e^{11}<e^{0+0+0}+1+e^{0+0+11}+e^{11}+e^{11}$

这就是左边。

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We_must_know. We_will_know.

6楼2015-05-07 11:28:25

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hank612

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你可以把不等式右边最后一项
$2^{\sum_{i=k}^{j+k-1}n_i}$ 清晰地写出来么? 比如说, k=3, j=1, 你的不等式是什么样子的? 谢谢.

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We_must_know. We_will_know.

2楼2015-05-06 04:39:04

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yangyugdzs

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2楼: Originally posted by hank612 at 2015-05-06 04:39:04
你可以把不等式右边最后一项
2^{\sum_{i=k}^{j+k-1}n_i} 清晰地写出来么? 比如说, k=3, j=1, 你的不等式是什么样子的? 谢谢.

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3楼2015-05-06 21:25:52

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hank612

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3楼: Originally posted by yangyugdzs at 2015-05-06 21:25:52
...

我们先看一个引理: $e^x+1>e^{ax}+e^{(1-a)x}$ , 对任意x>0, 1>a>0.

这个引理的意思是, 当有两个指数函数相加,并且要求(非负)幂次的和恒定, 那么当幂次一个为零,另一个最大时, 和函数最大, $e^{A}+e^{B}<1+e^{A+B}$ .

那楼主仔细想想不等式右侧,假如固定除了相邻的一对 $n_i,n_{i+1}$ 之外的其他指标, 又保持 $n_i+n_{i+1}$ 不变, 那么不等式左侧值是不变的, 而不等式右侧的值当且仅当其中一个 $n_i=0$ , 另一个等于 $n_i+n_{i+1}$ 时最大(具体哪个值清零要视情况而定).

这么多来几下, 右端最大值只能在一个n_i等于全部和, 其余n_i均为零时取到. 而这个和就是等于 (k-j)个1加上 j个 $e^{\sum_{i=1}^k {n_i}}$ , 就是不等式左端. 可是由于你要求最少有两个非零的n_i, 所以最大值是取不到的, 即不等式是严格大于号的.

指数函数以e为底和以2为底完全没差, 只要每个n_i都乘以ln2变成 $N_i=\ln{2}n_i$ 就知道了.

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We_must_know. We_will_know.

4楼2015-05-07 02:23:37

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