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touchhappy金虫 (著名写手)
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为什么要定义特征函数？ 已有3人参与
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请教一个问题：在概率论中定义的特征函数有什么用？看书上写的是，知道了特征函数，就知道了随机变量的分布特征。 我看了一下，特征函数可以看成概率密度的傅里叶变换。  难道特征函数的意义仅仅是多提供了一种随机变量分布的表示方法？还有别的意义吗？ 没学过概率，真心不懂，求指点  有好的回答可以追加BB~~~ |
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2楼2015-05-05 00:56:07
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touchhappy: 金币+10, ★★★很有帮助, Thanks for your expert advice. I really appreciate the statement aforementioned "By introducing characteristic function, the Fourier transform of convolution is the product of Fourier transforms", I think I got it! 2015-05-05 14:32:49
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touchhappy: 金币+10, ★★★很有帮助, Thanks for your expert advice. I really appreciate the statement aforementioned "By introducing characteristic function, the Fourier transform of convolution is the product of Fourier transforms", I think I got it! 2015-05-05 14:32:49
| Since the characteristic function is the Fourier transform of density function, we can use the beautiful properties of Fourier transform to compute the density function of the function of random variables. For example, as we know, to compute the summation function of two continuous random variables is kind of complicated. By introducing characteristic function, the Fourier transform of convolution is the product of Fourier transforms. Then by another inverse Fourier transform, we get the density function of the summation of two random variables. |
3楼2015-05-05 09:46:50
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的确如楼主自己所说 的，特种函数就是多提供了一种研究随机变量的方法。 在某些情况下，分布函数不是很方便，比如求多个独立随机变量和的分布时，用分布函数求解的话，涉及到多重卷积，非常苦难，而转换成特征函数（即傅里叶变换）就相对简单些。所以特征函数在大数定律和中心极限定律分析中用得比较多，因为这些定律都涉及到多个独立随机变量和。 祝好 |
4楼2015-05-05 10:30:29
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5楼2015-05-05 14:34:16
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特征函数不仅仅是图简单，还与能量谱密度方法有很大的关系。比如，统计力学中的高斯分布是white noise，它的时间相关函数在时间等于零的时候等于dirac函数，这时如何评价white noise的大小？就要用到特征高数了，原理是parserval定理。楼主可以查看一下维基百科的autocorrection function, white noise，spectral density等内容，会有了解的。 发自小木虫IOS客户端 |
6楼2016-08-12 10:49:40
7楼2016-08-12 11:09:13
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特征函数也相当于以能量为本征值的本征函数展开。如果在热力学统计力学中理解特征函数，是不是Gibbs分布也像是系统密度函数的特征函数？揪其本质，是对概率密度的本征函数展开。恰好这个本征函数是傅立叶变换，同时它有酉算子的可逆演化性质等等，用起来很好用。 发自小木虫IOS客户端 |
8楼2016-08-12 11:28:08