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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 大家来分析一个不同球不同箱子的问题吧。
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Jeydragon

木虫 (正式写手)

[求助] 大家来分析一个不同球不同箱子的问题吧。 已有2人参与

问题是这样的，我同学咨询了我一个问题，四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。问共有几种不同的尝法？我思考了一下，这不就是四个有编号的球放进四个有编号的箱子里，请问一共有多少种方法，我猜想一定是可以通过排列组合的方式来得到的吧，求助大家帮忙用公式来得到。
我利用穷举法是得到了的，但是如果数目大的话，穷举法应该不可以了，是吧。
我想如果在大学的时候，这个问题应非常简单，但是现在真的想不起来，谢谢，希望大家帮忙一下。
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欲海沉浮名利争，石光电火步此生；风尘情事挥不尽，观世不笑是痴人。
1楼 2015-03-22 21:35:36
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回帖置顶 ( 共有1个 )

zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

feixiaolin: 数学EPI+1, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=8740247&fpage=1 2015-04-01 19:14:18
It should be n!(1/2!-1/3!+1/4!-...+(-1)^n/n!)=n!-7floor.
If n=2, it's 1.
If n=3, it's 2
n=4, it's 9 etc. summation formula of probability but here is inverse. Thank 7 floor

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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8楼2015-03-28 18:10:06
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西门出海

金虫 (正式写手)
9种
2143 2341 2413
3142 3412 3421
4123 4312 4321
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4楼2015-03-25 08:44:52
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普通回帖

jabile

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
此即所谓匹配问题，一种提法是：n封信装到n个信封中，每封信都装错的装法是多少？
可以利用容斥原理求解，答案是
n![1-(1/2!)+(1/3!)-(1/4!)+.........+(1/n!)]---> n! (1-1/e)
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2楼2015-03-23 11:46:38
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Jeydragon

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by jabile at 2015-03-23 11:46:38
此即所谓匹配问题，一种提法是：n封信装到n个信封中，每封信都装错的装法是多少？
可以利用容斥原理求解，答案是
n!---> n! (1-1/e)

概率统计里面没有办法解决吗
并且这个结果怎么还有个自然对数e？
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欲海沉浮名利争，石光电火步此生；风尘情事挥不尽，观世不笑是痴人。
3楼2015-03-23 22:34:59
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
I would guess n!-(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!-(n-3)(n-3)!+...
Second floor seems not correct. For example. if n=3, only two cases 231 and 312. But second floor would give 3!(1-1/2!+1/3!)=4.
For n=4 case, it gave 15, which conflicts with 3 floor.
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5楼2015-03-25 19:59:03
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jabile

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by Jeydragon at 2015-03-23 22:34:59
概率统计里面没有办法解决吗
并且这个结果怎么还有个自然对数e？...

设表示第i个人尝到自己的菜，[latex]|A_i|[latex]表示[latex]A_i[latex]里面元素的个数，
[latex]|A_1\cup A_2 \cup \cdots \cup A_n|\\
=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} [\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n} |A_{i_1}\cdots A_{i_k}|]\\
=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} [C_n^k (n-k)!]\\
=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} {n!\over k!}\\
=n![1-{1\over 2!}+{1\over 3!}+\cdots +(-1)^{n+1} {1\over n!}][latex]
这是有人尝到自己菜的可能性，所有人都没尝到自己菜的可能性就是剩下的
[latex]n![1-1+{1\over 2!}-{1\over 3!}+\cdots+(-1)^n {1\over n!}[latex]
当n很大时，这个数趋向于 [latex]n![{1\over e}][latex]
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6楼2015-03-26 10:18:46
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jabile

木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by jabile at 2015-03-26 10:18:46
设A_i表示第i个人尝到自己的菜，|A_i|表示A_i里面元素的个数，
|A_1\cup A_2 \cup \cdots \cup A_n|\\
=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \\
=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \\
=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} {n!\over k!}\\
= ...

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Jeydragon
7楼2015-03-26 10:20:00
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)
6 floor is clear already

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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小木虫给我温暖，给我希望，爱就要爱小木虫。
9楼2015-03-28 18:12:37
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Jeydragon

木虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 西门出海 at 2015-03-25 08:44:52
9种
2143 2341 2413
3142 3412 3421
4123 4312 4321

我知道穷举法可以，但是我希望是公式，谢谢你。
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欲海沉浮名利争，石光电火步此生；风尘情事挥不尽，观世不笑是痴人。
10楼2015-03-28 20:44:29
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