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Jeydragon

木虫 (正式写手)

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[求助] 大家来分析一个不同球不同箱子的问题吧。已有2人参与

问题是这样的，我同学咨询了我一个问题，四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。问共有几种不同的尝法？我思考了一下，这不就是四个有编号的球放进四个有编号的箱子里，请问一共有多少种方法，我猜想一定是可以通过排列组合的方式来得到的吧，求助大家帮忙用公式来得到。
我利用穷举法是得到了的，但是如果数目大的话，穷举法应该不可以了，是吧。
我想如果在大学的时候，这个问题应非常简单，但是现在真的想不起来，谢谢，希望大家帮忙一下。

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欲海沉浮名利争，石光电火步此生；风尘情事挥不尽，观世不笑是痴人。

1楼 2015-03-22 21:35:36

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jabile

木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

引用回帖:

3楼: Originally posted by Jeydragon at 2015-03-23 22:34:59
概率统计里面没有办法解决吗
并且这个结果怎么还有个自然对数e？...

设 $A_i$ 表示第i个人尝到自己的菜，[latex]|A_i|[latex]表示[latex]A_i[latex]里面元素的个数，
[latex]|A_1\cup A_2 \cup \cdots \cup A_n|\\
=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} [\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n} |A_{i_1}\cdots A_{i_k}|]\\
=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} [C_n^k (n-k)!]\\
=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} {n!\over k!}\\
=n![1-{1\over 2!}+{1\over 3!}+\cdots +(-1)^{n+1} {1\over n!}][latex]
这是有人尝到自己菜的可能性，所有人都没尝到自己菜的可能性就是剩下的
[latex]n![1-1+{1\over 2!}-{1\over 3!}+\cdots+(-1)^n {1\over n!}[latex]
当n很大时，这个数趋向于 [latex]n![{1\over e}][latex]