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Jeydragon木虫 (正式写手)
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[求助]
大家来分析一个不同球不同箱子的问题吧。 已有2人参与
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问题是这样的，我同学咨询了我一个问题，四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。问共有几种不同的尝法？我思考了一下，这不就是四个有编号的球放进四个有编号的箱子里，请问一共有多少种方法，我猜想一定是可以通过排列组合的方式来得到的吧，求助大家帮忙用公式来得到。 我利用穷举法是得到了的，但是如果数目大的话，穷举法应该不可以了，是吧。 我想如果在大学的时候，这个问题应非常简单，但是现在真的想不起来，谢谢，希望大家帮忙一下。 |
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【答案】应助回帖
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设 [latex]|A_1\cup A_2 \cup \cdots \cup A_n|\\ =\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} [\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n} |A_{i_1}\cdots A_{i_k}|]\\ =\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} [C_n^k (n-k)!]\\ =\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} {n!\over k!}\\ =n![1-{1\over 2!}+{1\over 3!}+\cdots +(-1)^{n+1} {1\over n!}][latex] 这是有人尝到自己菜的可能性，所有人都没尝到自己菜的可能性就是剩下的 [latex]n![1-1+{1\over 2!}-{1\over 3!}+\cdots+(-1)^n {1\over n!}[latex] 当n很大时，这个数趋向于 [latex]n![{1\over e}][latex] |
6楼2015-03-26 10:18:46
jabile
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2楼2015-03-23 11:46:38
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