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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求证明
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美妙的青春

新虫 (初入文坛)

[求助] 求证明 已有6人参与

亲们，我不明白向量积下面公式怎么证明的，为什么要乘·sin<a,b>
|a ×b| = |a|·|b|·sin<a,b> |
   求证明&#128113;&#128113;&#128113;&#128113;&#128113;
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1楼 2015-03-07 11:43:07
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
美妙的青春(feixiaolin代发): 金币+2 2015-03-08 17:03:47
这是向量叉积的几何意义!
平四边形的面积:|aXb|
这是三角形的面积:||a|·|b|·sin<a,b> |/2
两个三角形的面积就是相应平四边形的面
赞一下(2人) 回复此楼
善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
2楼2015-03-07 12:42:37
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
美妙的青春(feixiaolin代发): 金币+2 2015-03-08 17:03:56
向量叉乘一般有两种定义方法：
1.几何定义方法：强行规定方向(a ×b 与a, b形成右手坐标系)以及大小（以a,b为边长的长方形面积），因为这种方法就是规定大小为面积，所以自然是 |a|·|b|·sin<a,b> |，没有什么需要证明的。
2. 代数方法：固定坐标a=（a1,a2,a3）,b=(b1,b2,b3), 那么a ×b定义为
i     j   k
a1,a2,a3
b1,b2,b3
的行列式。这个时候要证明|a ×b| = |a|·|b|·sin<a,b> |就不是那么容易了（实际上，证明是代数定义推出几何定义的一部分）。
可以利用拉格朗日恒等式
|a ×b|^2= |a|^2·|b|^2- |a·b|^2 （根据定义，两边打开就可以直接验证）。再利用a·b=|a|·|b·cos<a,b>可以证明 |a ×b| = |a|·|b|·sin<a,b> |。
当然这还不是最麻烦的，最麻烦的是代数定义推出a ×b 与a, b形成右手坐标系。当然了，一般教材上直接采用几何定义，方便，又直观。
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5楼2015-03-07 21:14:14
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
美妙的青春(feixiaolin代发): 金币+1 2015-03-08 17:04:03
a ×b的定义是：其模|a ×b| = |a|·|b|·sin<a,b>，但其方向为与由a和b组成的平面相垂直的方向。
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4楼2015-03-07 17:46:01
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普通回帖

美妙的青春

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by wurongjun at 2015-03-07 12:42:37
这是向量叉积的几何意义!
平四边形的面积:|aXb|
这是三角形的面积:||a|·|b|·sin<a,b> |/2
两个三角形的面积就是相应平四边形的面

谢谢

[ 发自小木虫客户端 ]
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3楼2015-03-07 12:51:56
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--八云--

专家顾问 (知名作家)

博览众家之长，终集百家之短
定义
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人原本是不死的，后来他创造了死亡，故而人们歌颂他。
6楼2015-03-07 22:36:00
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smxyzsf

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
feixiaolin: 金币+1 2015-03-08 17:04:53
应该从向量的物理意义更容易解决和理解

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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7楼2015-03-08 00:17:06
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美妙的青春

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by peterflyer at 2015-03-07 17:46:01
a ×b的定义是：其模|a ×b| = |a|·|b|·sin<a,b>，但其方向为与由a和b组成的平面相垂直的方向。

谢谢

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8楼2015-03-08 08:17:58
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美妙的青春

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by sskkyy at 2015-03-07 21:14:14
向量叉乘一般有两种定义方法：
1.几何定义方法：强行规定方向(a ×b 与a, b形成右手坐标系)以及大小（以a,b为边长的长方形面积），因为这种方法就是规定大小为面积，所以自然是 |a|·|b|·sin<a,b> |，没有什 ...

谢谢

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9楼2015-03-08 08:19:59
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美妙的青春

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by sskkyy at 2015-03-07 21:14:14
向量叉乘一般有两种定义方法：
1.几何定义方法：强行规定方向(a ×b 与a, b形成右手坐标系)以及大小（以a,b为边长的长方形面积），因为这种方法就是规定大小为面积，所以自然是 |a|·|b|·sin<a,b> |，没有什 ...

谢谢

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10楼2015-03-08 08:40:16
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