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美妙的青春

新虫 (初入文坛)

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[求助] 求证明已有6人参与

亲们，我不明白向量积下面公式怎么证明的，为什么要乘·sin<a,b>
|a ×b| = |a|·|b|·sin<a,b> |
求证明👱👱👱👱👱

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1楼 2015-03-07 11:43:07

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sskkyy

银虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

★ ★
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美妙的青春(feixiaolin代发): 金币+2 2015-03-08 17:03:56

向量叉乘一般有两种定义方法：
1.几何定义方法：强行规定方向(a ×b 与a, b形成右手坐标系)以及大小（以a,b为边长的长方形面积），因为这种方法就是规定大小为面积，所以自然是 |a|·|b|·sin<a,b> |，没有什么需要证明的。
2. 代数方法：固定坐标a=（a1,a2,a3）,b=(b1,b2,b3), 那么a ×b定义为
i j k
a1,a2,a3
b1,b2,b3
的行列式。这个时候要证明|a ×b| = |a|·|b|·sin<a,b> |就不是那么容易了（实际上，证明是代数定义推出几何定义的一部分）。
可以利用拉格朗日恒等式
|a ×b|^2= |a|^2·|b|^2- |a·b|^2 （根据定义，两边打开就可以直接验证）。再利用a·b=|a|·|b·cos<a,b>可以证明 |a ×b| = |a|·|b|·sin<a,b> |。
当然这还不是最麻烦的，最麻烦的是代数定义推出a ×b 与a, b形成右手坐标系。当然了，一般教材上直接采用几何定义，方便，又直观。