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3楼2015-03-06 12:02:07
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
yangyugdzs(feixiaolin代发): 金币+50 2015-03-14 19:33:36
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yangyugdzs(feixiaolin代发): 金币+50 2015-03-14 19:33:36
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由于所有的数都是自然数，从同样的一对(A,B)出发， 经过x=1得到的(a=7B+2,b=6A+6)总是比经过x=3得到的(c=6B+3, d=5A+6)来得大(指a>c, b>d)，所以求和是x=1的明显大于x=3的。 因此如果要比哪个大，只要比较只含x=1与x=2的变换序列即可. 假如有两对自然数(A,B)与(C,D)满足 A-C>D-B且A>max(C,D)>B. 对(A,B) 作x=2的变换(a=9A+7, b=4B), 对 (C,D)作x=1得到(c1=7D+2, d1=6C+6), 或者做x=2得到(c2=9C+7, d2=4D), 均有a>max(ci,di)>b且a-ci>di-b. 这意味着 和函数， 9(a+A)+5(b+B) > 9(ci+C)+5(di+D). 换句话说，如果从满足 A-C>D-B且A>max(C,D)>B的(A,B)与(C,D)出发，对(A,B)一直用变换x=2, 对(C,D)则随便挑x=1或x=2, 和函数总是第一个序列的大。 现在从(9,6)出发， 经过x=2为(88,24), 经过x=1为(44,64), 满足条件， 所以和函数有序列22222...>1xxxx(相同位数，x=1或2). 接下来， (88,24)经过x=2为(799,96), 经过x=1为(170,534), 依然满足条件，从而22222...>21xxx. 楼主用归纳法，应该可以证明你自己的猜想吧。 太复杂了，楼主自己继续吧。 |
6楼2015-03-07 13:52:35
hank612
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7楼2015-03-07 14:28:33
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yangyugdzs(feixiaolin代发): 金币+50 2015-03-14 19:33:44
yangyugdzs(feixiaolin代发): 金币+50 2015-03-14 19:33:44
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引理：若自然数 A,B,C,D满足 A>B且A-C>D-B>0, 那么 对(A,B)作操作2， a=9A+7>b=4B, 并且 a-c>d-b>0, 其中 c=9C+7, d=4D (操作2) 或者 c=7D+2, d=6C+6 (操作1). 注意 a-c>d-b>0保证了和函数 9a+5b > 9c+5d. 这说明， 对(A,B) 连续做操作2，对(C,D)任意做操作1或2，和函数总是第一个序列的大。 楼主猜想的证明：（最大部分). 因为A>B 蕴含 (9A+7)-(7B+2)>(6A+6)-4B>0, 所以由引理知道，只要初始条件给的A>B，就保证了序列22222...对应的和函数最大, (比序列2221xxx, 221xxx, 1xxxx都大) |
8楼2015-03-08 03:27:35
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谢谢兄台的热心解答，a>max(ci,di)>b且a-ci>di-b 这个推导是从本身推的还是另外推导，如果本身的话比如 9>max(8,7)>5 假设 a=9 ci_8,d_i=7, b=5 则 a-ci>di-b 为9-8<7-5 而不是>, 此外，兄台解释的 如果A>B, 那么 9A+7 > max(7B+2, 6A+6) > 4B 并且 (9A+7)-(7B+2) > (6A+6) - 4B. 好像是显然的。这个推导是为了证明 下一层如果是由跟A,B同源的情况得到的话 采用方法2比方法1大，但是如果从兄台的解释来看 如果是直接有3A>3B+1得到的话论断正确，但是如果是9A+7 > max(7B+2, 6A+6) > 4B进而推出 (9A+7)-(7B+2) > (6A+6) - 4B. 是不是有点问题呢，原因同上，此外我根据兄台的建议整理出来了一个最大情况的证明，能否私信发给兄台，看是否有问题，还有就是最小情况的证明，兄弟能否再给予指导。也就是f(n)每次都选择方法3的时候最小，但是同样面临的问题就是，下次的单项 9*A_{k+1}+5*B_{k+1} 不一定是最小 虽然 A,B是上次的9*A_{k}+5*B_{k}最小, 但是把前面的所有项目加到一起仍然是每次都选择方式3最小，也就是下一次单项9*A_{k+1}+5*B_{k+1} 的最小不一定是在上一次最小的基础上衍生出来的，这点需要在推导的过程中特别注意，其实这个现象很容易发现，推导到第二层就出现 采用方式2方式3组合得到的第三层的对为 147,446 单项和为9*147+5*446=3553，但是一直采用方式三 即方式3方式3得到的第三层上的数据对为 309，201 单项和式为9*309+201*5=3768 ，而3786>3553, 但是前三项的和仍然是采用方式3 方式3 最小 因为方式2方式3的情况为9*（9+88+147）+5*（6+24+446）+7*4+5<9*（9+39+309）+5*（6+51+201）+7*4+5,也就是说考虑最小的情况的时候 跟最大的时候有区别，这个地方需要特别注意一下！O(∩_∩)O谢谢兄台 |
9楼2015-03-08 18:14:00
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yangyugdzs(feixiaolin代发): 金币+50 2015-03-14 19:33:59
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yangyugdzs(feixiaolin代发): 金币+50 2015-03-14 19:34:07
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引理：若自然数 A,B,C,D满足 A>max(B,C,D)且A+B>C+D, 那么 对(A,B)作操作2， a=9A+7,b=4B, 那么a>max(b,c,d) 并且 a+b>c+d, 其中 c=9C+7, d=4D (操作2) 或者 c=7D+2, d=6C+6 (操作1). 注意 a>c与a+b>c+d保证了和函数 9a+5b > 9c+5d. 这说明， 对(A,B) 连续做操作2，对(C,D)任意做操作1或2，和函数总是第一个序列的大。 楼主猜想的证明：（最大部分). 因为A>B 蕴含 (9A+7)>max(7B+2,6A+6,4B)且(9A+7)+4B>(7B+2)+(6A+6), 所以由引理知道，只要初始条件给的A>B，就保证了序列22222...对应的和函数最大。 (最小部分): 我们知道步骤1大于3(即xx1yyy > xx3yyy)，所以序列和比小时，序列绝对不含步骤1. 这个问题好复杂，我不知道答案，也不知道这结论是个定理，还是仅为楼主的猜想。 如果从(A,B)出发， 并且 (A,B)经过332后得到(9(30A+39)+7,4(30B+21)),大于经过233后得到(30(9A+7)+39,30(4B)+21), 所以 332xyz > 233xyz. 因此如果有反例，序列必须以2打头。其实，由于当A〉B时，22+23=((81A+70)+(24B+3), 16B+(45A+41)), 大于两倍的33=(2(30A+39), 2(30B+21))， 所以22xyz, 23xyz至少有一个大于33xyz. 可是我证明不了二者都大于33xyz. 抱歉能力有限。 顺手可以证明 232〉333， 因为 (54(4B)+34, 20(9A+7)+24) > (30(6B+3)+39, 30(5A+6)+21). |
10楼2015-03-11 12:49:42
