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yangyugdzs

金虫 (小有名气)

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[求助] 如何证明这个断言成立已有1人参与

如何证明这个问题，如不想要金币，愿意付人民币100元，只要推导正确，谢谢！

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1楼2015-03-06 11:35:35

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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yangyugdzs(feixiaolin代发): 金币+50 2015-03-14 19:33:59
yangyugdzs(feixiaolin代发): 金币+50 2015-03-14 19:34:07

引用回帖:

9楼: Originally posted by yangyugdzs at 2015-03-08 18:14:00
谢谢兄台的热心解答，a>max(ci,di)>b且a-ci>di-b 这个推导是从本身推的还是另外推导，如果本身的话比如 9>max(8,7)>5 假设 a=9 ci_8,d_i=7, b=5 则 a-ci>di-b 为9-8<7-5 而不是>,

此外 ...

引理：若自然数 A,B,C,D满足 A>max(B,C,D)且A+B>C+D, 那么
对(A,B)作操作2， a=9A+7,b=4B, 那么a>max(b,c,d) 并且 a+b>c+d, 其中
c=9C+7, d=4D (操作2) 或者 c=7D+2, d=6C+6 (操作1).
注意 a>c与a+b>c+d保证了和函数 9a+5b > 9c+5d.
这说明，对(A,B) 连续做操作2，对(C,D)任意做操作1或2，和函数总是第一个序列的大。

楼主猜想的证明：（最大部分). 因为A>B 蕴含 (9A+7)>max(7B+2,6A+6,4B)且(9A+7)+4B>(7B+2)+(6A+6), 所以由引理知道，只要初始条件给的A>B，就保证了序列22222...对应的和函数最大。

(最小部分): 我们知道步骤1大于3(即xx1yyy > xx3yyy)，所以序列和比小时，序列绝对不含步骤1. 这个问题好复杂，我不知道答案，也不知道这结论是个定理，还是仅为楼主的猜想。

如果从(A,B)出发，并且 $\frac{5}{4}A+\frac{3}{2}<B<\frac{3}{2}A+\frac{2}{3}$ , (比如(9,6)经步骤3后得到的(39,51)就满足条件)，该条件等价于 6B+3<9A+7, 5A+6<4B, 由于每一项都比相应的项小，所以有32xyz > 33xyz (xyz指由2，3组成的任意序列), 即以2开头的序列严格大于以3开头的序列，如果两序列只有第一位不同。进一步观察发现该条件蕴含 $\frac{5}{4}(30A+39)+\frac{3}{2}<(30B+21)<\frac{3}{2}(30A+39)+\frac{2}{3}$ , 所以还有 3332xyz > 3333xyz, etc.

(A,B)经过332后得到(9(30A+39)+7,4(30B+21)),大于经过233后得到(30(9A+7)+39,30(4B)+21), 所以 332xyz > 233xyz.

因此如果有反例，序列必须以2打头。其实，由于当A〉B时，22+23=((81A+70)+(24B+3), 16B+(45A+41)), 大于两倍的33=(2(30A+39), 2(30B+21))，所以22xyz, 23xyz至少有一个大于33xyz. 可是我证明不了二者都大于33xyz. 抱歉能力有限。

顺手可以证明 232〉333，因为 (54(4B)+34, 20(9A+7)+24) > (30(6B+3)+39, 30(5A+6)+21).