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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 关于函数及算子的离散表示
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wangzhongren

木虫 (小有名气)
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10楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-02-06 14:52:19
http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=8523083&fpage=1
感觉lz的问题与链接中的问题很有关联。...

嗯，有一定关联，谢谢！
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11楼2015-02-06 15:10:53
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

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wangzhongren: 金币+50, ★有帮助, 谢谢您的热心解答，您提供的资料很有帮助！ 2015-02-07 21:27:52
wangzhongren: 金币+100, ★★★很有帮助, 谢谢您的热心解答，过年了，问题暂时放在这儿没处理，谢谢您！元宵节快乐！ 2015-03-05 17:19:02
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11楼: Originally posted by wangzhongren at 2015-02-06 15:10:53
嗯，有一定关联，谢谢！...

虽然不能理解lz所问的矩阵表示，不过文献中一个矩阵运算符号，可见链接的介绍：
http://wenku.baidu.com/view/0f6a11bcec3a87c24028c4a4.html
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PreferenceforMathematics
12楼2015-02-06 19:56:24
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

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感谢参与，应助指数 +1
wangzhongren: 金币+100, ★★★很有帮助, 谢谢！ 2015-02-07 21:21:15
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6楼: Originally posted by wangzhongren at 2015-02-04 22:05:58
您好，谢谢您的回复。关键的一个迷惑点是d*2维矩阵，为什么是这个'2'呢，这一点想了好久...

为什是d*2维矩阵，我的理解是这样的。让我们先来考虑d=1的情形，对于d>1情形可以类推。首先，我们来考察一个二阶微分算子（连续算子）。定义域是C2（R），即R上的二阶连续函数空间。值域是C0（R），即R上的连续函数空间。 如果f 属于C2（R）， f 的定义域是R，即连续点。在离散后，R被一组离散点 (1,2,...,N) 所替代，连续算子为离散算子（矩阵、线性算子，如果线性） 所替代。 离散算子的定义域为 定义在(1,2,...,N) 上的离散函数，即一个N维向量，离散算子的值 为另一个 N维向量。离散算子可以由一个 NxN的矩阵A表示。在很多情况下，A是稀疏的。比如二阶导数的3点离散是一个三对角矩阵。这样离散算子的表示就是一个2维矩阵。这个方式可以推广到d维函数，那样，算子的离散表示就是一个2*d维矩阵。不知道这是否是你想讨论的。
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wangzhongren
13楼2015-02-07 11:19:40
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wangzhongren

木虫 (小有名气)
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13楼: Originally posted by pippi6 at 2015-02-07 11:19:40
为什是d*2维矩阵，我的理解是这样的。让我们先来考虑d=1的情形，对于d>1情形可以类推。首先，我们来考察一个二阶微分算子（连续算子）。定义域是C2（R），即R上的二阶连续函数空间。值域是C0（R），即R上的 ...

我觉得您说的有道理。我现在的想法是这样的，其实可能一开始我理解错误了，那个算子矩阵$A(j_1, j_1^’; j_2, j_2^’)$并不是说，这个矩阵是d×2维的，而是表达了这个算子计算时的一种映射关系，也就像您说的那样，将算子定义域(j_1,j_2)代表的函数，映射到( j_1^’, j_2^')上去。也就是说，我将后面的理解错了，那个d*2并不代表矩阵维数，而是对于映射关系的表示。不知道这样理解正不正确？
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14楼2015-02-07 21:26:15
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

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引用回帖:
14楼: Originally posted by wangzhongren at 2015-02-07 21:26:15
我觉得您说的有道理。我现在的想法是这样的，其实可能一开始我理解错误了，那个算子矩阵$A(j_1, j_1^’; j_2, j_2^’)$并不是说，这个矩阵是d×2维的，而是表达了这个算子计算时的一种映射关系，也就像您说的那样， ...

是这样，比如在三维空间里，d=3, 假定每一维有N个点，那么3维空间有N^3个点， 离散函数就是一个N^3的向量，离散算子就是一个 N^3 x  N^3 的矩阵，如果线性。如果算子不是线性的，那么就是一个 N^3维空间到 N^3维空间的非线性映射。我前面说的也有问题。一般说来，离散算子是一个N^d 维空间到N^d 维空间的映射。在线性情形，可以表示为N^d x N^d 的矩阵，或N^d 阶方阵 (而不是 2*d维矩阵)。其实这就是离散矩阵，用于解线性方程组的。或者说，矩阵总是二维的，但阶数是N^d 。您觉得这样理解合适吗？
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wangzhongren
15楼2015-02-07 21:45:35
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wangzhongren

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15楼: Originally posted by pippi6 at 2015-02-07 21:45:35
是这样，比如在三维空间里，d=3, 假定每一维有N个点，那么3维空间有N^3个点， 离散函数就是一个N^3的向量，离散算子就是一个 N^3 x  N^3 的矩阵，如果线性。如果算子不是线性的，那么就是一个 N^3维空间到 N^ ...

您说的对。进一步讲，我觉得这个‘向量’和‘矩阵’有点抽象出原来意思的意味。也就是说，以向量和矩阵的映射、计算为原型，其实这里的‘向量’和矩阵在高维空间的时候，就变成了张量，但是这种朴素的映射关系是类似的。只不过在这里仍然方便地叫做‘向量’和‘矩阵’而已，便于理解。不知道这样理解是否正确？
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16楼2015-02-08 12:27:12
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pippi6

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【答案】应助回帖

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wangzhongren: 金币+50, ★★★很有帮助, 谢谢您的热心回答！ 2015-02-09 12:57:12
wangzhongren: 金币+200, ★★★★★最佳答案, 谢谢您的热心回答，过年了，暂时将帖子放下了，最佳答案，元宵节快乐！ 2015-03-05 17:20:08
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16楼: Originally posted by wangzhongren at 2015-02-08 12:27:12
您说的对。进一步讲，我觉得这个‘向量’和‘矩阵’有点抽象出原来意思的意味。也就是说，以向量和矩阵的映射、计算为原型，其实这里的‘向量’和矩阵在高维空间的时候，就变成了张量，但是这种朴素的映射关系是类 ...

我觉得应该注意区分几何空间维数d（比如3维空间，几何意义上的）和空间中的离散点数 N^d。进而区分一般代数意义上的矩阵和几何意义上的张量。

常见的张量是几何空间中的一种不变量（不依赖坐标系变换），用于表示某些物理量。像应力是二阶张量，可以在某个坐标系下表示为矩阵。在这个意义上，可以把张量看成向量的推广；不过注意，是高阶的推广而并非高维的推广。同是三维空间，你可以有一阶张量（速度向量），二阶张量（应力），三阶张量（叉乘算子）、四阶（应力应变关系）等等，但都是三维空间中的张量。

可是，在离散问题上，我们有的是离散空间点组成的向量。比如我们有N^d个离散点，那就是N^d 维Euclid向量，而离散算子就是代数意义上的N^d xN^d 阶方阵，和几何张量可以没有关系。不要想的过于复杂了。
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17楼2015-02-09 08:00:22
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wangzhongren

木虫 (小有名气)
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17楼: Originally posted by pippi6 at 2015-02-09 08:00:22
我觉得应该注意区分几何空间维数d（比如3维空间，几何意义上的）和空间中的离散点数 N^d。进而区分一般代数意义上的矩阵和几何意义上的张量。

常见的张量是几何空间中的一种不变量（不依赖坐标系变换），用于表 ...

嗯，谢谢您！您说得很正确，很有帮助。

此外，在《矩阵分析与应用》（张贤达，清华大学出版社，第10章，第二版，2013）这本书中，定义‘张量是数据的多路阵列表示，一个张量就是一个多路阵列或者多维阵列，它是矩阵的一种扩展’。还讲到‘数学中的张量专指多路阵列，不应与物理和工程中的张量等同，后者在数学中常称为张量场(tensor field)’。

不知道我认为的张量和您提及的张量是不是上面解释的‘张量’和‘张量场’之间的关系。
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18楼2015-02-09 12:56:49
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