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zwclyq

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[求助] 请教一个极限的求解已有3人参与

各位大神，请问下面一个极限是如何求解的？谢谢解答。

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脚踏实地步步为营

1楼 2014-08-04 16:09:11

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Edstrayer

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【答案】应助回帖

这个极限不收敛。理由如下：
设

$a_n=\prod\limits_{i=0}^n\frac{1}{\sqrt{1+4^{-i}}}$

则

$b_n=\ln a_n=\sum\limits_{i=0}^n\ln\frac{1}{\sqrt{1+4^{-i}}}$

即

$b_n=(-1)^{n+1}\sum\limits_{i=0}^n\ln\sqrt{1+4^{-i}$

下面考虑：

$c_n=\sum\limits_{i=0}^n\ln\sqrt{1+4^{-i}$

注意到：

$0<4^{-i}\leqslant 1(i=0,1,2,\cdots)$

所以就有：

$0<\ln\sqrt{1+4^{-i}\leqslant\frac{1}{2}\ln 2(i=0,1,2,\cdots)$

因此， $c_n$ 单调递增，
设

$a_n,b_n,c_n$

如楼上的定义，则 $c_n$ 单调递增，从而有极限（有限或正无穷），于是有 $c_n\to c(n\to+\infty)$ ，故 $b_n=-c_n\to -c(n\to+\infty)$ ，因此就有 $a_n=e^{b_n}\to e^[-c}(n\to+\infty)$ ，所以所给的极限收敛。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

8楼2014-08-05 05:42:19

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zwclyq

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3楼: Originally posted by 黑洞再世 at 2014-08-04 23:24:36
抱歉啊，想不出来，不过我猜测是化为三角函数来解，因为与复变函数有些关系的。。。脑袋饱了。。。

这个是我看CORDIC算法的时候遇到的，设 tan(theta_k)=1/2^k;
求解 cos(theta_k)累积的极限。

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脚踏实地步步为营

11楼2014-08-05 09:17:12

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Nonsmooth

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【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
zwclyq: 金币+3, ★有帮助 2014-08-05 09:12:37

你觉得这个是收敛的么？

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学术无国界。

2楼2014-08-04 21:44:58

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【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
zwclyq: 金币+2, ★有帮助, 是三角函数转化来的，同样很感谢你。 2014-08-05 09:15:10

抱歉啊，想不出来，不过我猜测是化为三角函数来解，因为与复变函数有些关系的。。。脑袋饱了。。。

[ 发自小木虫客户端 ]

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3楼2014-08-04 23:24:36

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thekissofgod

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答案是e^(1/6)

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此时不博何时博

4楼2014-08-05 00:48:14

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Edstrayer

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这个极限应该收敛

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5楼2014-08-05 01:39:49

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hank612

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http://math.stackexchange.com/qu ... f-eulers-q-function

极限明显是收敛的, 但是没有解析表达式. 它的值与Q-Pochhammer symbol有关, 软件可以给出数值解. 上面的连接很值得一读. 希望对你有帮助.

另外, 从数值解来看, 4楼的答案肯定是错的.

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We_must_know. We_will_know.

6楼2014-08-05 04:39:03

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feixiaolin: 屏蔽内容, 乱码。内容不清 2014-08-05 06:51:18

本帖内容被屏蔽

7楼2014-08-05 05:39:49

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【答案】应助回帖

上面搞错了一个符号，设

$a_n,b_n,c_n$

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9楼2014-08-05 05:57:30

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2楼: Originally posted by Nonsmooth at 2014-08-04 21:44:58
你觉得这个是收敛的么？

我学的是通信专业，在运用CORDIC（数学专业的应该比我更了解这个算法吧，呵呵）算法设计数字锁相环的时候遇到这个问题，文献中只给出工程数值是0.607，应该是收敛的。

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脚踏实地步步为营

10楼2014-08-05 09:14:32

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