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zwclyq

铜虫 (正式写手)

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[求助] 请教一个极限的求解已有3人参与

各位大神，请问下面一个极限是如何求解的？谢谢解答。

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脚踏实地步步为营

1楼2014-08-04 16:09:11

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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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【答案】应助回帖

这个极限不收敛。理由如下：
设

$a_n=\prod\limits_{i=0}^n\frac{1}{\sqrt{1+4^{-i}}}$

则

$b_n=\ln a_n=\sum\limits_{i=0}^n\ln\frac{1}{\sqrt{1+4^{-i}}}$

即

$b_n=(-1)^{n+1}\sum\limits_{i=0}^n\ln\sqrt{1+4^{-i}$

下面考虑：

$c_n=\sum\limits_{i=0}^n\ln\sqrt{1+4^{-i}$

注意到：

$0<4^{-i}\leqslant 1(i=0,1,2,\cdots)$

所以就有：

$0<\ln\sqrt{1+4^{-i}\leqslant\frac{1}{2}\ln 2(i=0,1,2,\cdots)$

因此， $c_n$ 单调递增，
设

$a_n,b_n,c_n$

如楼上的定义，则 $c_n$ 单调递增，从而有极限（有限或正无穷），于是有 $c_n\to c(n\to+\infty)$ ，故 $b_n=-c_n\to -c(n\to+\infty)$ ，因此就有 $a_n=e^{b_n}\to e^[-c}(n\to+\infty)$ ，所以所给的极限收敛。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

8楼2014-08-05 05:42:19

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Nonsmooth

银虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
zwclyq: 金币+3, ★有帮助 2014-08-05 09:12:37

你觉得这个是收敛的么？

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学术无国界。

2楼2014-08-04 21:44:58

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黑洞再世

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【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
zwclyq: 金币+2, ★有帮助, 是三角函数转化来的，同样很感谢你。 2014-08-05 09:15:10

抱歉啊，想不出来，不过我猜测是化为三角函数来解，因为与复变函数有些关系的。。。脑袋饱了。。。

[ 发自小木虫客户端 ]

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3楼2014-08-04 23:24:36

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Edstrayer

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这个极限应该收敛

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

5楼2014-08-05 01:39:49

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