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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 导数的倒数，可有通用积分公式？
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netvisitor

木虫 (正式写手)

[求助] 导数的倒数，可有通用积分公式？ 已有5人参与

导数的倒数，是否有通用积分公式？请指教！
导数的倒数，可有通用积分公式？
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1楼 2014-07-04 10:41:00
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Nonsmooth

银虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
反函数呀！记得反函数的求导公式么？
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学术无国界。
2楼2014-07-04 17:53:32
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netvisitor

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Nonsmooth at 2014-07-04 17:53:32
反函数呀！记得反函数的求导公式么？

但求详解。能否写出表达式？不胜感激！
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3楼2014-07-04 19:44:02
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billiards

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
因为 y=f(x), 且 x=inv f(y)
而且 (dx/dy) * (dy/dx) = 1,  
可得: (inv f(x))' = 1/f'[inv f(x)],
等式两边积分, 可得:
inv f(x)=∫{1/f'[inv f(x)]} dx

在本题中 inv f(x) 用 f(x) 代入, 即可得:
∫{1/f'[f(x)]} dx = f(x) + c
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4楼2014-07-05 04:54:45
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billiards

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

前面发的帖子有些错误,这里作个修改:
因为 y=f(x), 且 x=inv f(y)
而且 (dx/dy) * (dy/dx) = 1,  
现在采用拉格郎日标记法,并且都用 f(x) 和 x 来表示, 可得: f'(x) * f'[inv f(x)] = 1,  即:
        1/f'(x) = f'[inv f(x)]
等式两边积分, 可得:
∫{1/f'(x)]} dx = inv f(x) + c
这个应该是通用积分公式。
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5楼2014-07-05 07:03:05
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netvisitor

木虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by billiards at 2014-07-05 04:54:45
因为 y=f(x), 且 x=inv f(y)
而且 (dx/dy) * (dy/dx) = 1,  
可得: (inv f(x))' = 1/f',
等式两边积分, 可得:
inv f(x)=∫{1/f'} dx

在本题中 inv f(x) 用 f(x) 代入, 即可得:
∫{1/f'} dx = f(x) + c...

我是求∫[1/f'(x)] dx，不是求∫{1/f'[f(x)]} dx！
难道我的问题没说清楚，我写的式子没显示出来？
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6楼2014-07-05 07:06:29
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netvisitor

木虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by billiards at 2014-07-05 07:03:05
前面发的帖子有些错误,这里作个修改:
因为 y=f(x), 且 x=inv f(y)
而且 (dx/dy) * (dy/dx) = 1,  
现在采用拉格郎日标记法,并且都用 f(x) 和 x 来表示, 可得: f'(x) * f' = 1,  即:
        1/f'(x) = f'
等 ...

还是不对吧?
记y=f(x),∫[dx/dy]dy的结果才是你给的解
我的问题是求∫[dx/dy]dx！
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7楼2014-07-05 07:15:25
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billiards

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by netvisitor at 2014-07-05 07:15:25
还是不对吧?
记y=f(x),∫dy的结果才是你给的解
我的问题是求∫dx！...

所以这里有一个反函数的变化.
如果你理解了反函数, 这就不是问题了.
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8楼2014-07-05 07:22:38
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netvisitor

木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by billiards at 2014-07-05 07:22:38
所以这里有一个反函数的变化.
如果你理解了反函数, 这就不是问题了....

y=x?
f'[inv f(x)] 的变量难道还是x？inverse function的变量不变？
虽然感谢您的回复，但还是求有质量的回复！
P.S. 我不知你的引用为什么会把我的∫[dx/dy]dy写成∫dy，∫[dx/dy]dx写成∫dx？难道木虫出问题了？
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9楼2014-07-05 07:34:34
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billiards

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by netvisitor at 2014-07-05 07:15:25
还是不对吧?
记y=f(x),∫dy的结果才是你给的解
我的问题是求∫dx！...

y=f(x) 或者 x=f(y) 其实是可以任意选的. 也可以写成 a=f(b). 关键是其中的逻辑关系才是重要的.
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10楼2014-07-05 07:36:09
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