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netvisitor

木虫 (正式写手)

[求助] 导数的倒数，可有通用积分公式？ 已有5人参与

导数的倒数，是否有通用积分公式？请指教！
导数的倒数，可有通用积分公式？
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1楼 2014-07-04 10:41:00
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billiards

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

前面发的帖子有些错误,这里作个修改:
因为 y=f(x), 且 x=inv f(y)
而且 (dx/dy) * (dy/dx) = 1,  
现在采用拉格郎日标记法,并且都用 f(x) 和 x 来表示, 可得: f'(x) * f'[inv f(x)] = 1,  即:
        1/f'(x) = f'[inv f(x)]
等式两边积分, 可得:
∫{1/f'(x)]} dx = inv f(x) + c
这个应该是通用积分公式。
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5楼2014-07-05 07:03:05
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Nonsmooth

银虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
反函数呀！记得反函数的求导公式么？
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学术无国界。
2楼2014-07-04 17:53:32
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netvisitor

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Nonsmooth at 2014-07-04 17:53:32
反函数呀！记得反函数的求导公式么？

但求详解。能否写出表达式？不胜感激！
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3楼2014-07-04 19:44:02
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billiards

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
因为 y=f(x), 且 x=inv f(y)
而且 (dx/dy) * (dy/dx) = 1,  
可得: (inv f(x))' = 1/f'[inv f(x)],
等式两边积分, 可得:
inv f(x)=∫{1/f'[inv f(x)]} dx

在本题中 inv f(x) 用 f(x) 代入, 即可得:
∫{1/f'[f(x)]} dx = f(x) + c
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4楼2014-07-05 04:54:45
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