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求助一个群论问题 已有1人参与
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| 请问如果M/N同构于Z_5，其中N的阶为p^2,那么能得到M是N和Z_5的直积吗？ 请给出原因，谢谢谢谢 |
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根据楼下SSKKYY的例子, 可以看出, 若 M/N=Z_5, 其中|N|=p^2, p是素数, 那么M=N X Z_5 的充分(非必要)条件是: 5 不整除 p(p-1)(p+1). 充分性的说明: 设Z_5的一个生成元为a, 那么a在M中任意原像b,在N的共轭作用定义了N的一个自同构phi: x --> b^{-1}* x *b. 由于p^2阶的群N总是交换群(要么是循环的 (Z/p^2Z), 要么等于Z_p * Z_p), 所以phi^5=1. 由于 Aut(Z/p^2Z)的阶为 [Euler函数(p^2) ]=p(p-1), Aut(Z_p X Z_p)的阶为 (p^2-1)*(p^2-p)=p*(p-1)^2*(p+1). 如果5整除这些自同构的阶, 那么完全可以构造例子, 使得M就是N和Z_5的半直积(不是直积). 反之, 如果5 不整除 p(p-1)(p+1), 那么由phi^5=1 可以推出 phi=1. 当 phi=1(恒同映射)时, 大群M自己 就是交换群.那么由交换群的标准分解(分解成循环群的直积)直接看出, 如果p不等于 5, M必然等于N X Z_5. |
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