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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 运筹学与控制论 » 求助一个群论问题
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王老白

银虫 (小有名气)

[求助] 求助一个群论问题已有1人参与

请问如果M/N同构于Z_5，其中N的阶为p^2,那么能得到M是N和Z_5的直积吗？ 请给出原因，谢谢谢谢
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1楼2014-07-01 17:55:03
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王老白

银虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-07-02 01:04:54
根据楼下SSKKYY的例子, 可以看出,
若 M/N=Z_5, 其中|N|=p^2, p是素数, 那么M=N X Z_5 的充分(非必要)条件是: 5 不整除 p(p-1)(p+1).

充分性的说明:
设Z_5的一个生成元为a, 那么a在M中任意原像b,在N的共轭作用定 ...

是的，一般情况下应该是半直积，因为只能证明N是M的正规子群，N交Z_5为单位，但证明不了Z_5是M的正规子群。谢谢哈
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4楼2014-07-02 09:11:08
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
不能。比如p=5，M=Z/p^3，N=pZ/p^3。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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2楼2014-07-01 23:15:05
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
根据楼下SSKKYY的例子, 可以看出,
若 M/N=Z_5, 其中|N|=p^2, p是素数, 那么M=N X Z_5 的充分(非必要)条件是: 5 不整除 p(p-1)(p+1).

充分性的说明:
设Z_5的一个生成元为a, 那么a在M中任意原像b,在N的共轭作用定义了N的一个自同构phi: x --> b^{-1}* x *b. 由于p^2阶的群N总是交换群(要么是循环的 (Z/p^2Z), 要么等于Z_p * Z_p), 所以phi^5=1.

由于 Aut(Z/p^2Z)的阶为 [Euler函数(p^2) ]=p(p-1),  Aut(Z_p X Z_p)的阶为 (p^2-1)*(p^2-p)=p*(p-1)^2*(p+1). 如果5整除这些自同构的阶, 那么完全可以构造例子, 使得M就是N和Z_5的半直积(不是直积). 反之, 如果5 不整除 p(p-1)(p+1), 那么由phi^5=1 可以推出 phi=1.

当 phi=1(恒同映射)时, 大群M自己 就是交换群.那么由交换群的标准分解(分解成循环群的直积)直接看出, 如果p不等于 5, M必然等于N X Z_5.
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We_must_know. We_will_know.
3楼2014-07-02 01:04:54
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王老白

银虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by sskkyy at 2014-07-01 23:15:05
不能。比如p=5，M=Z/p^3，N=pZ/p^3。

谢谢你啊
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5楼2014-07-02 09:11:24
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