应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜    

小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 运筹学与控制论 » 求助一个群论问题
71/1返回列表
查看: 1222  |  回复: 6
只看楼主 @他人 存档 新回复提醒 (忽略) 收藏    在APP中查看

王老白

银虫 (小有名气)

[求助] 求助一个群论问题 已有1人参与

请问如果M/N同构于Z_5，其中N的阶为p^2,那么能得到M是N和Z_5的直积吗？ 请给出原因，谢谢谢谢
回复此楼

» 猜你喜欢

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:
1楼 2014-07-01 17:55:03
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
不能。比如p=5，M=Z/p^3，N=pZ/p^3。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
赞一下(1人) 回复此楼
2楼2014-07-01 23:15:05
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)
根据楼下SSKKYY的例子, 可以看出,
若 M/N=Z_5, 其中|N|=p^2, p是素数, 那么M=N X Z_5 的充分(非必要)条件是: 5 不整除 p(p-1)(p+1).

充分性的说明:
设Z_5的一个生成元为a, 那么a在M中任意原像b,在N的共轭作用定义了N的一个自同构phi: x --> b^{-1}* x *b. 由于p^2阶的群N总是交换群(要么是循环的 (Z/p^2Z), 要么等于Z_p * Z_p), 所以phi^5=1.

由于 Aut(Z/p^2Z)的阶为 [Euler函数(p^2) ]=p(p-1),  Aut(Z_p X Z_p)的阶为 (p^2-1)*(p^2-p)=p*(p-1)^2*(p+1). 如果5整除这些自同构的阶, 那么完全可以构造例子, 使得M就是N和Z_5的半直积(不是直积). 反之, 如果5 不整除 p(p-1)(p+1), 那么由phi^5=1 可以推出 phi=1.

当 phi=1(恒同映射)时, 大群M自己 就是交换群.那么由交换群的标准分解(分解成循环群的直积)直接看出, 如果p不等于 5, M必然等于N X Z_5.
赞一下(1人) 回复此楼
We_must_know. We_will_know.
3楼2014-07-02 01:04:54
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

王老白

银虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-07-02 01:04:54
根据楼下SSKKYY的例子, 可以看出,
若 M/N=Z_5, 其中|N|=p^2, p是素数, 那么M=N X Z_5 的充分(非必要)条件是: 5 不整除 p(p-1)(p+1).

充分性的说明:
设Z_5的一个生成元为a, 那么a在M中任意原像b,在N的共轭作用定 ...

是的，一般情况下应该是半直积，因为只能证明N是M的正规子群，N交Z_5为单位，但证明不了Z_5是M的正规子群。谢谢哈
赞一下 回复此楼
4楼2014-07-02 09:11:08
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

王老白

银虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by sskkyy at 2014-07-01 23:15:05
不能。比如p=5，M=Z/p^3，N=pZ/p^3。

谢谢你啊
回复此楼
5楼2014-07-02 09:11:24
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 王老白 at 2014-07-02 09:11:08
是的，一般情况下应该是半直积，因为只能证明N是M的正规子群，N交Z_5为单位，但证明不了Z_5是M的正规子群。谢谢哈...

Z_5只在商群中，不在大群M中， 所以N 交Z_5没有定义的。 比如M=<a,b|a^25=b^5=[a,b]=1>
N=<a^5> X <b>, 那么M/N=<a BAR>, 没法考虑N 交Z_5。

其实， 2 mod 5, 3 mod5 的素数还是很多的， 比如 7， 13， 17， 23，37， 43, 47, etc. 换句话说， 直积情况还是很普遍的。
赞一下 回复此楼
We_must_know. We_will_know.
6楼2014-07-02 09:54:02
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

王老白

银虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by hank612 at 2014-07-02 09:54:02
Z_5只在商群中，不在大群M中， 所以N 交Z_5没有定义的。 比如M=<a,b|a^25=b^5==1>
N=<a^5> X <b>, 那么M/N=<a BAR>, 没法考虑N 交Z_5。

其实， 2 mod 5, 3 mod5 的素数还是很多的， 比 ...

恩呢，是我在条件那写的不够明确，应该是M/N同构于Z_5.谢谢谢谢
赞一下 回复此楼
7楼2014-07-02 20:20:16
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
相关版块跳转 我要订阅楼主 王老白 的主题更新
71/1返回列表
普通表情 龙 兔 虎 猫
最具人气热帖推荐 [查看全部] 作者 回/看 最后发表
[考研] 材料专硕326求调剂 +6 墨煜姒莘 2026-03-15 7/350 2026-03-17 17:10 by ruiyingmiao
[考研] 312求调剂 +4 陌宸希 2026-03-16 5/250 2026-03-17 17:09 by ruiyingmiao
[考研] 332求调剂 +6 Zz版 2026-03-13 6/300 2026-03-17 17:03 by ruiyingmiao
[考研] 274求调剂0856材料化工 +13 z2839474511 2026-03-11 14/700 2026-03-17 16:51 by share_joy
[考研] 070300化学319求调剂 +3 锦鲤0909 2026-03-17 3/150 2026-03-17 15:01 by 我的船我的海
[考研] 290求调剂 +6 孔志浩 2026-03-12 11/550 2026-03-17 14:41 by 周舟舟77
[考研] 085600材料与化工 +4 安全上岸！ 2026-03-16 4/200 2026-03-17 14:02 by 勇敢太监王公公
[考研] 材料与化工304求B区调剂 +7 邱gl 2026-03-11 8/400 2026-03-17 09:36 by 努力学习赚彩礼
[考研] 301求调剂 +3 A_JiXing 2026-03-16 3/150 2026-03-17 08:21 by 无际的草原
[考研] 0703化学调剂，求各位老师收留 +8 秋有木北 2026-03-14 8/400 2026-03-16 15:21 by 哦哦123
[考研] 一志愿华中师范071000，325求调剂 +6 RuitingC 2026-03-12 6/300 2026-03-16 14:50 by 可淡不可忘
[教师之家] 焦虑 +7 水冰月月野兔 2026-03-13 9/450 2026-03-16 10:00 by Quakerbird
[基金申请] NSFC申报书里申请人简历中代表性论著还需要在申报书最后的附件里面再上传一遍吗 20+5 NSFC2026我来了 2026-03-10 14/700 2026-03-15 23:53 by 不负韶华的虎
[考研] 297一志愿上交085600求调剂 +5 指尖八千里 2026-03-14 5/250 2026-03-14 17:26 by a不易
[考研] 材料与化工（0856）304求B区调剂 +6 邱gl 2026-03-12 7/350 2026-03-13 23:24 by 邱gl
[考研] ［0860］321分求调剂，ab区皆可 +4 宝贵热 2026-03-13 4/200 2026-03-13 22:01 by 星空星月
[考研] 281求调剂 +9 Koxui 2026-03-12 11/550 2026-03-13 20:50 by Koxui
[考研] 070303一志愿西北大学学硕310找调剂 +3 d如愿上岸 2026-03-13 3/150 2026-03-13 10:43 by houyaoxu
[考研] 290求调剂 +3 ADT 2026-03-13 3/150 2026-03-13 10:19 by peike
[考研] 大连大学化学专业研究生调剂 +3 琪久. 2026-03-10 8/400 2026-03-11 10:02 by 琪久.
信息提示
关闭
请填处理意见
关闭