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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 关于差分递推的一个习题
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

[交流] 关于差分递推的一个习题

例A 设数列和满足条件且


试证：是完全平方数。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
1楼 2014-06-26 07:35:40
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
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引用回帖:
7楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 15:48:43
你的意思是：
a_0=1^2,a_1=2^2,a_{n+1}=(4\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})^2(n\geq 1)
a_2=49=7^2=(4\times 2-1)^2
a_3=676=26^2=(4\times 7-2)^2
a_4=9409=97^2=(4\times 26-7)^2
a_5=131044=362^2=(4\times 97 ...

由万能的归纳法可以证明, 若, 那么,
. 这样一来应该可以证明你要的结果.
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We_must_know. We_will_know.
15楼2014-06-27 01:45:37
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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
14楼: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 21:28:13
找到方法了，要写个大概上来哦。我也很感兴趣。我们可以继续探讨。...

是啊，证明过程有点烦，写起来有点啰嗦，对于差分我蛮有兴趣的，我想我们可以继续探讨一些有关的问题，……
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
17楼2014-06-27 10:04:06
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普通回帖

仙木映月

金虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
得到an从第三项开始的递推公式了：a[n+1]=(a[n]*4-a[n-1])^2;
验证了a[3]到a[6]都是对的。
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Hardtosay.
2楼2014-06-26 08:16:58
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
使用Z变换即可解出an、bn与n的关系表达式，由此决定问题命题的成立与否。
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3楼2014-06-26 09:27:07
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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界
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2楼: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 08:16:58
得到an从第三项开始的递推公式了：a=(a*4-a)^2;
验证了a到a都是对的。

直接计算可以得到：


但是，，这表明2楼给出的递推公式不正确。……
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2014-06-26 11:05:08
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仙木映月

金虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
4楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 12:05:08
直接计算可以得到：
\left\{\begin{array}{c}a_0=1\\b_0=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_1=4\\b_1=4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_2=49\\b_2=56\end{array}\right.\left\{\begin{arr ...

26=7*4-2

97=26*4-7

362=97*4-26
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Hardtosay.
5楼2014-06-26 12:21:19
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仙木映月

金虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 12:05:08
直接计算可以得到：
\left\{\begin{array}{c}a_0=1\\b_0=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_1=4\\b_1=4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_2=49\\b_2=56\end{array}\right.\left\{\begin{arr ...

还有

7=2*4-1
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Hardtosay.
6楼2014-06-26 12:24:17
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
6楼: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 12:24:17
还有

7=2*4-1...

你的意思是：








……………………………………………………………………………………
那么如何证明等式：


用数学归纳法吗？
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
7楼2014-06-26 15:48:43
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
证明了这个递推等式倒是可以很快证明（用数学归纳法）都是完全平方数。………………………………………………………………
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8楼2014-06-26 16:07:29
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仙木映月

金虫 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 16:48:43
你的意思是：
a_0=1^2,a_1=2^2,a_{n+1}=(4\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})^2(n\geq 1)
a_2=49=7^2=(4\times 2-1)^2
a_3=676=26^2=(4\times 7-2)^2
a_4=9409=97^2=(4\times 26-7)^2
a_5=131044=362^2=(4\times 97 ...

就是这个意思。
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Hardtosay.
9楼2014-06-26 16:35:26
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仙木映月

金虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
7楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 16:48:43
你的意思是：
a_0=1^2,a_1=2^2,a_{n+1}=(4\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})^2(n\geq 1)
a_2=49=7^2=(4\times 2-1)^2
a_3=676=26^2=(4\times 7-2)^2
a_4=9409=97^2=(4\times 26-7)^2
a_5=131044=362^2=(4\times 97 ...

你这公式打得挺漂亮的。
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Hardtosay.
10楼2014-06-26 16:35:51
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