关于差分递推的一个习题 - 数学 - 工科数学 - 第2页小木虫论坛-学术科研互动平台

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9楼: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 16:35:26
就是这个意思。...

那如何证明所说的递推等式呢？

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11楼2014-06-26 18:41:37

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11楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 19:41:37
那如何证明所说的递推等式呢？...

数学归纳法应该可以，就是有点麻烦。你可以试试那个z变换的建议，起码可以求出递推吧。我没找到很合理的方法。

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Hardtosay.

12楼2014-06-26 18:51:48

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Edstrayer

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12楼: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 18:51:48
数学归纳法应该可以，就是有点麻烦。你可以试试那个z变换的建议，起码可以求出递推吧。我没找到很合理的方法。...

我试试，……

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13楼2014-06-26 19:02:02

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13楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 20:02:02
我试试，……...

找到方法了，要写个大概上来哦。我也很感兴趣。我们可以继续探讨。

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Hardtosay.

14楼2014-06-26 21:28:13

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7楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 15:48:43
你的意思是：
a_0=1^2,a_1=2^2,a_{n+1}=(4\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})^2(n\geq 1)
a_2=49=7^2=(4\times 2-1)^2
a_3=676=26^2=(4\times 7-2)^2
a_4=9409=97^2=(4\times 26-7)^2
a_5=131044=362^2=(4\times 97 ...

由万能的归纳法可以证明, 若 $A=2+\sqrt{3}, B=2-\sqrt{3}$ , 那么,
$a_n=(\frac{A^n+B^n}{2})^2, b_n=\frac{(A^{2n}-B^{2n})\sqrt{3}}{6}$ . 这样一来应该可以证明你要的结果.

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15楼2014-06-27 01:45:37

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15楼: Originally posted by hank612 at 2014-06-27 01:45:37
由万能的归纳法可以证明, 若A=2+\sqrt{3}, B=2-\sqrt{3}, 那么,
a_n=(\frac{A^n+B^n}{2})^2, b_n=\frac{(A^{2n}-B^{2n})\sqrt{3}}{6} . 这样一来应该可以证明你要的结果....

对的，找到 $a_n,b_n$ 的通项公式后就可以证明题目所要的结果，甚至可以导出更多的东东，……

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16楼2014-06-27 04:24:15

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14楼: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 21:28:13
找到方法了，要写个大概上来哦。我也很感兴趣。我们可以继续探讨。...

是啊，证明过程有点烦，写起来有点啰嗦，对于差分我蛮有兴趣的，我想我们可以继续探讨一些有关的问题，……

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17楼2014-06-27 10:04:06

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仙木映月

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17楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-27 11:04:06
是啊，证明过程有点烦，写起来有点啰嗦，对于差分我蛮有兴趣的，我想我们可以继续探讨一些有关的问题，……...

18楼2014-06-27 16:36:28

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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+5, 很好的解法，很棒，很给力！ 2014-07-02 12:39:07
feixiaolin: 金币+50, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=7476193&fpage=4 奖励 2014-07-02 13:10:48
feixiaolin: 金币+39, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=7476193&fpage=4 奖励 2014-07-02 13:10:57

引用回帖:

17楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-27 10:04:06
是啊，证明过程有点烦，写起来有点啰嗦，对于差分我蛮有兴趣的，我想我们可以继续探讨一些有关的问题，……...

关于差分方程,可以看https://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation上的解法.

以Edstrayer 的贴子https://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=7581094&fpage=2&target=self&page=1
为例, $a_{n+1}=7a_n+6b_n-3, b_{n+1}=8a_n+7b_n-4$ , 由于问题是仅关于a_n的性质, 我们只需要解出序列a_n即可.

如果令 $c_n=b_n+a_n, d_n=b_n-a_n,$ 那么 $d_{n+1}=c_{n}-1; c_{n+1}=14c_n-d_{n}-7$ . 换句话说, $c_{n+1}-14c_n+c_{n-1}+6=0$

通常我们都只考虑齐次的差分方程, 所以令 $x_n=c_{n}-1/2$ 满足 $x_{n+1}-14x_n+x_{n-1}=0; x_0=\frac{1}{2}, x_1=\frac{15}{2}$ , 记得 $a_n=(c_n-d_n)/2=(c_n-c_{n-1}+1)/2=(x_n-x_{n-1}+1)/2.$

如果让 $A=2+\sqrt{3}, B=A^{-1}=2-\sqrt{3}$ , 则 A^2, B^2 为二次方程x^2 -14x +1=0的两个根.因此, $x_{n+1}-A^2 x_n=B^2(x_n-A^2 x_{n-1}); x_{n+1}-B^2 x_n=A^2(x_n-B^2 x_{n-1})$ .
这意味着, $x_{n+1}-A^2 x_n=B^{2n}(x_1-A^2 x_{0}); x_{n+1}-B^2 x_n=A^{2n}(x_1-B^2 x_{0})$ . 两式相减, 得到
$x_n=\frac{A^{2n}(x_1-B^2x_0)-B^{2n}(x_1-A^2x_0)}{A^2-B^2}$ .

代入a_n的表达式, 化简, 可得: $a_n=\left(\frac{A^n+B^n}{2}\right)^2$ .

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19楼2014-07-02 06:51:12

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chidonggua

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这个通项公式用JORDAN块写不出来么？？？？？？？？？？？

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20楼2014-07-02 08:22:31

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