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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 关于差分递推的一个习题
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
9楼: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 16:35:26
就是这个意思。...

那如何证明所说的递推等式呢？
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
11楼2014-06-26 18:41:37
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仙木映月

金虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
11楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 19:41:37
那如何证明所说的递推等式呢？...

数学归纳法应该可以，就是有点麻烦。你可以试试那个z变换的建议，起码可以求出递推吧。我没找到很合理的方法。
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Hardtosay.
12楼2014-06-26 18:51:48
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
12楼: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 18:51:48
数学归纳法应该可以，就是有点麻烦。你可以试试那个z变换的建议，起码可以求出递推吧。我没找到很合理的方法。...

我试试，……
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
13楼2014-06-26 19:02:02
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仙木映月

金虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
13楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 20:02:02
我试试，……...

找到方法了，要写个大概上来哦。我也很感兴趣。我们可以继续探讨。
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Hardtosay.
14楼2014-06-26 21:28:13
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
7楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 15:48:43
你的意思是：
a_0=1^2,a_1=2^2,a_{n+1}=(4\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})^2(n\geq 1)
a_2=49=7^2=(4\times 2-1)^2
a_3=676=26^2=(4\times 7-2)^2
a_4=9409=97^2=(4\times 26-7)^2
a_5=131044=362^2=(4\times 97 ...

由万能的归纳法可以证明, 若, 那么,
. 这样一来应该可以证明你要的结果.
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We_must_know. We_will_know.
15楼2014-06-27 01:45:37
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
15楼: Originally posted by hank612 at 2014-06-27 01:45:37
由万能的归纳法可以证明, 若A=2+\sqrt{3}, B=2-\sqrt{3}, 那么,
a_n=(\frac{A^n+B^n}{2})^2, b_n=\frac{(A^{2n}-B^{2n})\sqrt{3}}{6} . 这样一来应该可以证明你要的结果....

对的，找到的通项公式后就可以证明题目所要的结果，甚至可以导出更多的东东，……
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
16楼2014-06-27 04:24:15
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
14楼: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 21:28:13
找到方法了，要写个大概上来哦。我也很感兴趣。我们可以继续探讨。...

是啊，证明过程有点烦，写起来有点啰嗦，对于差分我蛮有兴趣的，我想我们可以继续探讨一些有关的问题，……
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
17楼2014-06-27 10:04:06
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仙木映月

金虫 (正式写手)
引用回帖:
17楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-27 11:04:06
是啊，证明过程有点烦，写起来有点啰嗦，对于差分我蛮有兴趣的，我想我们可以继续探讨一些有关的问题，……...

OK
18楼2014-06-27 16:36:28
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ...
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+5, 很好的解法，很棒，很给力！ 2014-07-02 12:39:07
feixiaolin: 金币+50, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=7476193&fpage=4 奖励 2014-07-02 13:10:48
feixiaolin: 金币+39, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=7476193&fpage=4 奖励 2014-07-02 13:10:57
引用回帖:
17楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-27 10:04:06
是啊，证明过程有点烦，写起来有点啰嗦，对于差分我蛮有兴趣的，我想我们可以继续探讨一些有关的问题，……...

关于差分方程,可以看https://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation上的解法.

以Edstrayer 的贴子https://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=7581094&fpage=2&target=self&page=1
为例, , 由于问题是仅关于a_n的性质, 我们只需要解出序列a_n即可.

如果令 那么. 换句话说,

通常我们都只考虑齐次的差分方程, 所以令 满足 ,  记得

如果让 , 则 A^2, B^2 为二次方程x^2 -14x +1=0的两个根.因此, .
这意味着, . 两式相减, 得到
.

代入a_n的表达式, 化简, 可得: .
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We_must_know. We_will_know.
19楼2014-07-02 06:51:12
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chidonggua

银虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
这个通项公式用JORDAN块写不出来么？？？？？？？？？？？
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20楼2014-07-02 08:22:31
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