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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 关于差分递推的一个习题
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

[交流] 关于差分递推的一个习题

例A 设数列和满足条件且


试证：是完全平方数。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
1楼 2014-06-26 07:35:40
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
15楼: Originally posted by hank612 at 2014-06-27 01:45:37
由万能的归纳法可以证明, 若A=2+\sqrt{3}, B=2-\sqrt{3}, 那么,
a_n=(\frac{A^n+B^n}{2})^2, b_n=\frac{(A^{2n}-B^{2n})\sqrt{3}}{6} . 这样一来应该可以证明你要的结果....

对的，找到的通项公式后就可以证明题目所要的结果，甚至可以导出更多的东东，……
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
16楼2014-06-27 04:24:15
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仙木映月

金虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
得到an从第三项开始的递推公式了：a[n+1]=(a[n]*4-a[n-1])^2;
验证了a[3]到a[6]都是对的。
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Hardtosay.
2楼2014-06-26 08:16:58
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
使用Z变换即可解出an、bn与n的关系表达式，由此决定问题命题的成立与否。
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3楼2014-06-26 09:27:07
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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
2楼: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 08:16:58
得到an从第三项开始的递推公式了：a=(a*4-a)^2;
验证了a到a都是对的。

直接计算可以得到：


但是，，这表明2楼给出的递推公式不正确。……
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2014-06-26 11:05:08
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