版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

返回列表

当前只显示满足指定条件的回帖，点击这里查看本话题的所有回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

[交流] 关于差分递推的一个习题

例A 设数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足条件 $a_0=1,b_0=0$ 且

$\left\{\begin{array}{c}a_{n+1}=7a_n+6b_n-3\\b_{n+1}=8a_n+7b_n-4\end{array}\right.,n=0,1,2,\cdots$

试证： $a_n(n=0,1,2,\cdots)$ 是完全平方数。

回复此楼

» 猜你喜欢

依托企业入选了国家启明计划青年人才。有无高校可以引进的。已经有13人回复
AI 太可怕了，写基金时，提出想法，直接生成的文字比自己想得深远，还有科学性已经有11人回复
天津大学招2026.09的博士生，欢迎大家推荐交流（博导是本人）已经有11人回复
表哥与省会女结婚，父母去帮带孩子被省会女气回家生重病了已经有9人回复
同年申请2项不同项目，第1个项目里不写第2个项目的信息，可以吗已经有10人回复
依托企业入选了国家启明计划青年人才。有无高校可以引进的。已经有11人回复

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2014-06-26 07:35:40

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ...
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+5, 很好的解法，很棒，很给力！ 2014-07-02 12:39:07
feixiaolin: 金币+50, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=7476193&fpage=4 奖励 2014-07-02 13:10:48
feixiaolin: 金币+39, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=7476193&fpage=4 奖励 2014-07-02 13:10:57

引用回帖:

17楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-27 10:04:06
是啊，证明过程有点烦，写起来有点啰嗦，对于差分我蛮有兴趣的，我想我们可以继续探讨一些有关的问题，……...

关于差分方程,可以看https://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation上的解法.

以Edstrayer 的贴子https://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=7581094&fpage=2&target=self&page=1
为例, $a_{n+1}=7a_n+6b_n-3, b_{n+1}=8a_n+7b_n-4$ , 由于问题是仅关于a_n的性质, 我们只需要解出序列a_n即可.

如果令 $c_n=b_n+a_n, d_n=b_n-a_n,$ 那么 $d_{n+1}=c_{n}-1; c_{n+1}=14c_n-d_{n}-7$ . 换句话说, $c_{n+1}-14c_n+c_{n-1}+6=0$

通常我们都只考虑齐次的差分方程, 所以令 $x_n=c_{n}-1/2$ 满足 $x_{n+1}-14x_n+x_{n-1}=0; x_0=\frac{1}{2}, x_1=\frac{15}{2}$ , 记得 $a_n=(c_n-d_n)/2=(c_n-c_{n-1}+1)/2=(x_n-x_{n-1}+1)/2.$

如果让 $A=2+\sqrt{3}, B=A^{-1}=2-\sqrt{3}$ , 则 A^2, B^2 为二次方程x^2 -14x +1=0的两个根.因此, $x_{n+1}-A^2 x_n=B^2(x_n-A^2 x_{n-1}); x_{n+1}-B^2 x_n=A^2(x_n-B^2 x_{n-1})$ .
这意味着, $x_{n+1}-A^2 x_n=B^{2n}(x_1-A^2 x_{0}); x_{n+1}-B^2 x_n=A^{2n}(x_1-B^2 x_{0})$ . 两式相减, 得到
$x_n=\frac{A^{2n}(x_1-B^2x_0)-B^{2n}(x_1-A^2x_0)}{A^2-B^2}$ .

代入a_n的表达式, 化简, 可得: $a_n=\left(\frac{A^n+B^n}{2}\right)^2$ .

赞一下

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

19楼2014-07-02 06:51:12

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

查看全部 22 个回答

仙木映月

金虫 (正式写手)

应助: 93 (初中生)
金币: 2257.6
散金: 51
红花: 17
帖子: 608
在线: 1094.4小时
虫号: 1929532
注册: 2012-08-08
性别: GG
专业: 机器人学及机器人技术

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

得到an从第三项开始的递推公式了：a[n+1]=(a[n]*4-a[n-1])^2;
验证了a[3]到a[6]都是对的。

赞一下

回复此楼

Hardtosay.

2楼2014-06-26 08:16:58

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

数学EPI: 10
应助: 20282 (院士)
金币: 146034
红花: 1374
帖子: 93091
在线: 7694.3小时
虫号: 1482829
注册: 2011-11-08
性别: GG
专业: 功能陶瓷

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

使用Z变换即可解出an、bn与n的关系表达式，由此决定问题命题的成立与否。

赞一下

回复此楼

3楼2014-06-26 09:27:07

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

引用回帖:

2楼: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 08:16:58
得到an从第三项开始的递推公式了：a=(a*4-a)^2;
验证了a到a都是对的。

直接计算可以得到：

$\left\{\begin{array}{c}a_0=1\\b_0=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_1=4\\b_1=4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_2=49\\b_2=56\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_3=676\\b_3=780\end{array}\right.$

但是， $a_3\neq(4a_2-a_1)^2(since 676=26^2\neq(4\times 49-4)^2)$ ，这表明2楼给出的递推公式不正确。……

赞一下

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

4楼2014-06-26 11:05:08

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

查看全部 22 个回答