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Edstrayer

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[交流] 关于差分递推的一个习题

例A 设数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足条件 $a_0=1,b_0=0$ 且

$\left\{\begin{array}{c}a_{n+1}=7a_n+6b_n-3\\b_{n+1}=8a_n+7b_n-4\end{array}\right.,n=0,1,2,\cdots$

试证： $a_n(n=0,1,2,\cdots)$ 是完全平方数。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2014-06-26 07:35:40

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hank612

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Edstrayer: 金币+5, 很好的解法，很棒，很给力！ 2014-07-02 12:39:07
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feixiaolin: 金币+39, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=7476193&fpage=4 奖励 2014-07-02 13:10:57

引用回帖:

17楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-27 10:04:06
是啊，证明过程有点烦，写起来有点啰嗦，对于差分我蛮有兴趣的，我想我们可以继续探讨一些有关的问题，……...

关于差分方程,可以看https://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation上的解法.

以Edstrayer 的贴子https://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=7581094&fpage=2&target=self&page=1
为例, $a_{n+1}=7a_n+6b_n-3, b_{n+1}=8a_n+7b_n-4$ , 由于问题是仅关于a_n的性质, 我们只需要解出序列a_n即可.

如果令 $c_n=b_n+a_n, d_n=b_n-a_n,$ 那么 $d_{n+1}=c_{n}-1; c_{n+1}=14c_n-d_{n}-7$ . 换句话说, $c_{n+1}-14c_n+c_{n-1}+6=0$

通常我们都只考虑齐次的差分方程, 所以令 $x_n=c_{n}-1/2$ 满足 $x_{n+1}-14x_n+x_{n-1}=0; x_0=\frac{1}{2}, x_1=\frac{15}{2}$ , 记得 $a_n=(c_n-d_n)/2=(c_n-c_{n-1}+1)/2=(x_n-x_{n-1}+1)/2.$

如果让 $A=2+\sqrt{3}, B=A^{-1}=2-\sqrt{3}$ , 则 A^2, B^2 为二次方程x^2 -14x +1=0的两个根.因此, $x_{n+1}-A^2 x_n=B^2(x_n-A^2 x_{n-1}); x_{n+1}-B^2 x_n=A^2(x_n-B^2 x_{n-1})$ .
这意味着, $x_{n+1}-A^2 x_n=B^{2n}(x_1-A^2 x_{0}); x_{n+1}-B^2 x_n=A^{2n}(x_1-B^2 x_{0})$ . 两式相减, 得到
$x_n=\frac{A^{2n}(x_1-B^2x_0)-B^{2n}(x_1-A^2x_0)}{A^2-B^2}$ .

代入a_n的表达式, 化简, 可得: $a_n=\left(\frac{A^n+B^n}{2}\right)^2$ .

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We_must_know. We_will_know.

19楼2014-07-02 06:51:12

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仙木映月

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得到an从第三项开始的递推公式了：a[n+1]=(a[n]*4-a[n-1])^2;
验证了a[3]到a[6]都是对的。

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Hardtosay.

2楼2014-06-26 08:16:58

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peterflyer

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peterflyer

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使用Z变换即可解出an、bn与n的关系表达式，由此决定问题命题的成立与否。

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3楼2014-06-26 09:27:07

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Edstrayer

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2楼: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 08:16:58
得到an从第三项开始的递推公式了：a=(a*4-a)^2;
验证了a到a都是对的。

直接计算可以得到：

$\left\{\begin{array}{c}a_0=1\\b_0=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_1=4\\b_1=4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_2=49\\b_2=56\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_3=676\\b_3=780\end{array}\right.$

但是， $a_3\neq(4a_2-a_1)^2(since 676=26^2\neq(4\times 49-4)^2)$ ，这表明2楼给出的递推公式不正确。……

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

4楼2014-06-26 11:05:08

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