[交流] 关于差分递推的一个习题

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼2014-06-26 07:35:40

Edstrayer

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证明了这个递推等式倒是可以很快证明（用数学归纳法） $a_n(n\geq 0)$ 都是完全平方数。………………………………………………………………

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

8楼2014-06-26 16:07:29

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仙木映月

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得到an从第三项开始的递推公式了：a[n+1]=(a[n]*4-a[n-1])^2;
验证了a[3]到a[6]都是对的。

Hardtosay.

2楼2014-06-26 08:16:58

peterflyer

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peterflyer

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使用Z变换即可解出an、bn与n的关系表达式，由此决定问题命题的成立与否。

3楼2014-06-26 09:27:07

Edstrayer

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引用回帖:

2楼: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 08:16:58
得到an从第三项开始的递推公式了：a=(a*4-a)^2;
验证了a到a都是对的。

直接计算可以得到：

$\left\{\begin{array}{c}a_0=1\\b_0=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_1=4\\b_1=4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_2=49\\b_2=56\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_3=676\\b_3=780\end{array}\right.$

但是， $a_3\neq(4a_2-a_1)^2(since 676=26^2\neq(4\times 49-4)^2)$ ，这表明2楼给出的递推公式不正确。……

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

4楼2014-06-26 11:05:08