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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求教_如何求解三对角矩阵的e指数
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pakchoi

木虫 (小有名气)

[求助] 求教_如何求解三对角矩阵的e指数 已有4人参与

有如下的三对角矩阵，其中a,b均为实数，对角线上为a,-a这样交替变换，临近对角线的两边都是b
能不能给出这个矩阵的e指数 exp(M)的解析表达式，数值上matlab可以求解。

求教_如何求解三对角矩阵的e指数
1.png
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1楼 2014-06-10 21:41:32
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pakchoi

木虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by asimony at 2014-06-10 22:57:29
这个公式写的有点麻烦，我大致说一下。
先把M拆分成三个矩阵的和：上三角bA、下三角bB、类似于单位阵aC（C正负1相邻）
再将exp(M)=exp(bA)*exp(bB)*exp(aC)分别泰勒展开
例如exp(bA)=E+bA+(bA)^2/2+.......
exp ...

你的意思是将M拆成如下三个矩阵的和么？

那求M的e指数可以拆成它们各自求e指数直接相乘么？
求教_如何求解三对角矩阵的e指数-1
1.png
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3楼2014-06-11 08:33:04
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匿名

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小虫
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2楼2014-06-10 22:57:29
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iamsad

至尊木虫 (著名写手)
我刚才用MATHEMATICA算了一下楼主4*4的矩阵的指数函数，  结果十分复杂，我劝楼主不要浪费时间继续找解析表达式了。
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4楼2014-06-11 10:26:28
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匿名

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小虫
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5楼2014-06-11 10:59:06
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pakchoi

木虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by asimony at 2014-06-11 10:59:06
是这样的，这样的话，这三个矩阵都是比较理想的，运算规律性特别强。...

可是查公式，满足exp(a+b)=exp(a)exp(b),需要矩阵相乘可以交换，即ab=ba, 如果拆分成这三个矩阵的话，好像并不满足这个条件
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6楼2014-06-11 11:03:27
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pakchoi

木虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by iamsad at 2014-06-11 10:26:28
我刚才用MATHEMATICA算了一下楼主4*4的矩阵的指数函数，  结果十分复杂，我劝楼主不要浪费时间继续找解析表达式了。

我也用mathmatica算过，确实很复杂，可是自己的工作确实希望能得到个解析表达式，用来分析后面的东西
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7楼2014-06-11 11:04:26
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匿名

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小虫
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8楼2014-06-11 11:14:41
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mathstudy

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
对于三对角阵  其特征值和特征向量的确定的   分解成PdiagP^T  的形式
其中P是正交阵，diag是特征值组成的对角阵，然后Exp(M)=PExp(diag)P^T=Pdiag(exp(i))P^T 参见http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential中的Diagonalizable case
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9楼2014-06-11 14:57:50
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iamsad

至尊木虫 (著名写手)
这个矩阵的指数我想肯定是一个dense matrix,  所以你的矩阵越大，得到全体解析表达式的希望越小。
如果只是想知道其中一两个元素的解析表达式，也许有可能？
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10楼2014-06-11 23:46:28
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