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求助——求解三元二次多项式方程组 已有1人参与
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如何求解如图所示的三元二次多项式方程组？ 其中x1 x2 x3 为三个未知数，其余皆为已知量。 目前查阅文献，已知的思路有吴文俊院士的特征列方法（吴消元法）、牛顿迭代法以及优化算法（如遗传算法等等）。不知这些方法各有什么优缺点，哪种方法比较合适？哪位大侠对吴消元法比较了解，能否为我指点一二？或者哪位大侠还有什么更好的办法？请各位不吝赐教，小弟在此感激不尽，一点金币，聊表心意。十万火急！ |
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
梅卡瓦: 金币+25, ★★★很有帮助, 分析的很有条理，求进一步指点！ 2014-05-24 17:18:37
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求解这类多项式方程组先要明白自己的目的和约束的情况. 首先,一般情况下closed form解析解是木有的; 个别特殊情况有但看你的问题; 1. 如果是求复数域上的全部解,Bezout定理(比左)给出全部解的个数的上限; 全部解通常是符号或半符号半数值求解;这时候方面求所有解有很多方法: (1)Grobner basis方法; (2)Wu 方法; (3)resultant 结式方法; (4)半符号半数值的Homotopy continuation方法(同伦延拓) 这些方法的本质是消元,从你的研究的角度看,只是找求解方法,Maple, Mathematica都有这些算法的工具包,可以现成调用(Wu 方法的你可以搜一下, 网上有maple写的package可以下载) 2. 数值求单个解 如果仅对局部的某个解感兴趣就有各种数值方法, 比如Newton迭代, Gauss-newton, Levenberg-Marquardt,共轭梯度等方法, 给定初值,迭代到收敛即可; 还可以用全局优化方法最小化问题的残差, 比如differential evolution, particle swarm optimization, 遗传, 模拟退火等等 这些算法都是经典的方法, 网上都能找到现成的代码和算法的详细教程. |
2楼2014-05-22 13:08:29
3楼2014-05-24 17:20:29
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4楼2014-05-25 07:13:32
5楼2014-05-25 12:50:47
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梅卡瓦: 金币+25, ★★★很有帮助, 谢谢大侠的指点！ 2014-05-27 12:54:42
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你这个方程组比较简单. 可以直接用Maple, Mathemativa之类的求解. 比如在Mathematica中输入: Clear[x, y, z]; NumberForm[ NSolve[{1.93805257495139 *x + 1.989901744045*y - 1.9244788 x^2 - 0.4793725136 y^2 + 0.540591811 z^2 - 3.00851527111272 *x *y == 0.0356142609461645, -2.02270095119066 x - 0.2903506814963 y - 0.3872090436 x^2 + 0.5233523265 y^2 - 0.2891801123 z^2 + 0.99491104241917*x *y == -0.0211426337846164, 0.953267077902323*z + 1.23636528154085 *x* z + 0.855917408071703 *y* z == 0.00891858054778995}, {x, y, z}] // MatrixForm, 15] (请自己确认系数,自己针对自己的特定系数用软件求解即可) 求解之后得到全部的8个解如下: { 1. {x -> 21.06516309222786 - 0.014303849674439961` I, y -> -31.54218263228234 + 0.020360383969386213` I, z -> 0.02299353864864497 + 34.5713348028858 I},(复数解) 2. {x -> 21.06516309222786 + 0.014303849674439961` I, y -> -31.54218263228234 - 0.020360383969386213` I, z -> 0.02299353864864497 - 34.5713348028858 I},(共轭的复数解) 3. {x -> -0.8912095836950181, y -> 0.17847914180324503`, z -> 2.138802447878191}, 4. {x -> 1.3273043580910389`, y -> -3.6974911206708505`, z -> -0.01563437431037731}, 5. {x -> -0.9139950564348167, y -> 0.20165424873766055`, z -> -2.1411639624319863`}, 6. {x -> 0.5665708078067153, y -> 1.305714796246315, z -> 0.0032181478652548463`}, 7. {x -> -2.123464879108108, y -> 1.695546528257502, z -> -0.040380529932251094`}, 8. {x -> 0.009171193670200587, y -> 0.009171193670262097, z -> 0.009171193670214847} } |
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