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Edstrayer

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[交流] 一个级数求和的题目已有1人参与

设p是奇素数， $p\equiv 3(mod4)$ ，试证：

$p\mid\sum\limits_{n=1}^{\frac{p-3}{2}}n(n+2)(n!)^2$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼2014-05-06 20:58:03

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hank612

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我来换个话题

设 k 是非负整数. 可以证明(不难看出), (k!)^2 mod(2k+1) 只有三种可能, 0, 1 或者 -1.

问: 当k取什么值时, 模为0 ?
当k取什么值时, 模为1 ?

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We_must_know. We_will_know.

2楼2014-05-07 04:34:32

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Edstrayer

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2楼: Originally posted by hank612 at 2014-05-07 04:34:32
我来换个话题

设 k 是非负整数. 可以证明(不难看出), (k!)^2 mod(2k+1) 只有三种可能, 0, 1 或者 -1.

问: 当k取什么值时, 模为0 ?
当k取什么值时, 模为1 ?

当2k+1为合数时， $(k!)^2\equiv 0(mod2k+1)$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2014-05-07 09:19:03

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

4楼2015-08-16 11:28:48

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hank612

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3楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-05-07 09:19:03
当2k+1为合数时，(k!)^2\equiv 0(mod2k+1)...

由于 $n(n+2)(n!)^2=((n+1)!)^2-(n!)^2$ , 有限和只有最后一项和最前一项，即 $((\frac{p-1}{2})!)^2-1$

注意到 $((\frac{p-1}{2})!)^2 \equiv (\frac{p-1}{2})!\cdot -(p-1)\cdot -(p-2)\dots -(p-\frac{p-1}{2}) \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}(p-1)! (\mod p)$

当p是个奇数时，如果 p是合数，那么 $(p-1)!\equiv 0 (\mod p)$ , 如果p是
素数，那么 $(p-1)!\equiv -1 (\mod p)$ 这是Wilson定理，
https://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem

由于楼主的 $p\equiv 3 (\mod 4)$ 奇素数，于是 $(-1)^{\frac{p-1}{2}}(-1)-1=0$

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5楼2015-08-17 03:20:11

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