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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 一个比较特别的行列式
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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

[交流] 一个比较特别的行列式已有3人参与

设a，b，c，d都是整数，且ad=bc，如果行列式：


试证：a=b=c=d=0.
注：条件ad=bc是否可以取消？若可以取消请给出证明，否则请举出反例。

[ Last edited by feixiaolin on 2014-4-25 at 13:56 ]
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
1楼2014-04-25 10:47:25
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Edstrayer

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引用回帖:
9楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-26 06:26:39
有图有真相,

det.png

det1.png
...

哦，计算错误，软件不会用，用手工按你的思路验证计算了行列式，得到：



以下计算会证了，条件ad=bc也是多余的，可以不要（是行列式等于零的必要条件），谢谢。
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10楼2014-04-26 11:10:10
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feixiaolin

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可视为分块矩阵
|A     B|
|B   5A|
行列式=|A|*|5A-B*A^(-1)*B|=0
条件是 |5A-B*A^(-1)*B|=0 而 |A|<>0
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2楼2014-04-25 15:51:09
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Edstrayer

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2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-25 15:51:09
可视为分块矩阵
|A     B|
|B   5A|
行列式=|A|*|5A-B*A^(-1)*B|=0
条件是 |5A-B*A^(-1)*B|=0 而 |A|<>0

这里A不一定可逆呢，……不能这样运算的，……
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3楼2014-04-25 18:18:57
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feixiaolin

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3楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-25 18:18:57
这里A不一定可逆呢，……不能这样运算的，……...

只要a=b=c=d，便可推出delt()=0;
为了求条件：
1. 假定A可逆;  比较繁琐，未推求。
2. 假定A不可逆;
   如果3a^2-b^2=0; 3c^2-d^2=0;  delt()=0;
     ad=bc 只是一个特例，ad+bc=0 亦可。
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4楼2014-04-25 20:11:08
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Edstrayer

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4楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-25 20:11:08
只要a=b=c=d，便可推出delt()=0;
为了求条件：
1. 假定A可逆;  比较繁琐，未推求。
2. 假定A不可逆;
   如果3a^2-b^2=0; 3c^2-d^2=0;  delt()=0;
     ad=bc 只是一个特例，ad+bc=0 亦可。...

a=b=c=d是要证明的结论，怎么能拿来当条件使用呢？
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5楼2014-04-26 00:24:18
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hank612

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4楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-25 20:11:08
只要a=b=c=d，便可推出delt()=0;
为了求条件：
1. 假定A可逆;  比较繁琐，未推求。
2. 假定A不可逆;
   如果3a^2-b^2=0; 3c^2-d^2=0;  delt()=0;
     ad=bc 只是一个特例，ad+bc=0 亦可。...

fei大神, 我估计你被要证的结论或无关的条件 ad=bc误导了.

要诀: 简单!!! 暴力!!!
第一步: 由数学软件可得,  行列式等于

由于a,b,c,d都是整数, 而 是无理数, 当行列式为零时, 当且仅当" 5ab=cd 并且 15a^2+5b^2 = 3c^2+d^2".

第二步, 不难看出,  
换句话说, 如果  a,b不全为零的话, 就有 这种荒谬的事情.
所以只好 a=b=c=d=0.
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We_must_know. We_will_know.
6楼2014-04-26 01:14:01
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Edstrayer

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6楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-26 01:14:01
fei大神, 我估计你被要证的结论或无关的条件 ad=bc误导了.

要诀: 简单!!! 暴力!!!
第一步: 由数学软件可得,  行列式等于
(15a^2+5b^2-3c^2-d^2)^2- 3*2^2*(5ab-cd)^2
由于a,b,c,d都是整数, 而 \sqrt ...

同志哥，题目并不简单！暴力行不通！


事实上，令a=b=c=d=1，我们就有：



两者并不相等。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
7楼2014-04-26 04:59:42
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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界
请教大神，我用mathematic进行在线计算怎么没有输出呢？问题出在哪儿？
一个比较特别的行列式
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
8楼2014-04-26 05:41:13
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
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引用回帖:
7楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-26 04:59:42
同志哥，题目并不简单！暴力行不通！
det\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&3a&d&3c\\c&d&5a&5b\\d&3c&5b&15a\end{pmatrix}\neq(15a^2+5b^2-3c^2-d^2)^2-3\times 2^2(5 ...

有图有真相,
一个比较特别的行列式-1
det.png


一个比较特别的行列式-2
det1.png
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We_must_know. We_will_know.
9楼2014-04-26 06:26:39
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