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小蜜蜂

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[求助] 坐标变换和幺正变换已有2人参与

问题: 幺正矩阵的作用相当于坐标变换, 为什么幺正矩阵的共轭转置就是坐标变化的逆变换呢? 当然我知道
幺正矩阵的共轭转置就是逆矩阵. 但是我想不明白这个机制是怎么回事.

补充1:
在量子力学中, 幺正变换就是相当于坐标坐标变换. 于是, 我就想到了二维直角坐标系xOy通过旋转变换到
x'Oy'. 假如旋转的角度是theta. 那么我们就有如下的关系

$\left(\begin{array}{ccc} x \\ y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} cos \theta & sin \theta \\ -sin \theta & cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} x' \\ y' \end{array}\right)$

set
$U=\left(\begin{array}{ccc} cos \theta & sin \theta \\ -sin \theta & cos \theta \end{array}\right)$ ;

then:
$U^TU=\mathbf{1}$

$U^T$ is the transposed matrix; since the elements of $U$ are real numbers, so the transposed matrix should be equivalent to the conjugate transposed matrix $U^\dagger$ in quantum mechanics.

MY QUESTION: Why the inverse transformation is just transposing the matrix $U$ , or Why Changing the basis is an unitary transformation?

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1楼 2014-04-01 14:32:00

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十点钟的咖啡

金虫 (正式写手)

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ifelseend: 回帖置顶 2014-04-01 19:46:07
ifelseend(leongoall代发): 金币+4, 代楼主发金币！ 2014-04-02 01:23:18
leongoall: 金币+5, 追加奖励，多谢应助！ 2014-04-02 01:23:37

如果在原坐标系里有一个矢量v, 在变换到另一个坐标系的时候变成了v'; 那么
$v'=Uv\;\;\;\;(1)$
那么
$U^Tv'=U^TUv\;\;\;\;(2)$
$v^TU^Tv'=v^TU^TUv\;\;\;\;(3)$
对(1)其取转置
$v'^T=v^TU^T\;\;\;\;(4)$
对比一下(3)和(4)
$v'^Tv'=v^TU^TUv\;\;\;\;(5)$
如果坐标变化不改变矢量的长度的话, 那么
$v'^Tv'=v^Tv\;\;\;\;(6)$
也就是说
$U^TU=1$
所以不改变矢量长度的变化, 都是幺正的.