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Let the function f be holomorphic in the unit disk r<=1, assume there is a polynomial p with positive degree such that pf is real valued. Prove that f is constant, pf指的是p和f的复合函数。大概就是f在单位圆盘上全纯，并且存在一个多项式p使得p和f的复合函数总取实数值，证明f是常值函数。 |
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hank612
至尊木虫 (著名写手)
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
ilokb: 金币+20, ★★★★★最佳答案 2014-03-05 06:00:28
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由于p(f)在 导数不为零的地方是保角映射，（解析函数的性质），而p(f)像在一条直线上， 所以 p(f) 导数处处为零。 由于p是多项式， p'(f)= (f-a1)*(f-a2)...*(f-an) ( 可能有重根， 但是不可约因子都是一次的, 代数基本定理)。 因此 (p(f))'= (f-a1)...(f-an)*f' (复合函数求导). 如果这n+1个因子没有一个是恒等于零的， 那么由于非零解析函数的零点孤立性，p(f)' 的零点最多是可数个，没可能在单位圆盘上处处为零的。 因此，在圆盘上, 要么 f(z)=某个a1, 要么 f'(z)=0. 这都表明f是常数。 |
3楼2014-03-05 00:21:10
2楼2014-03-04 16:41:15
4楼2014-03-05 06:00:22
