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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 曲面积分计算
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zhengjx

金虫 (正式写手)

[求助] 曲面积分计算 已有2人参与

已知：r、R、a、b>0；R>r。
1、求球体x^2+y^2+z^2=r^2被圆柱体(x-a)^2+z^2=R^2和平面y=0所截下部分的曲面面积。
2、求球体x^2+y^2+z^2=r^2被圆柱体(x-a)^2+z^2=R^2和平面y=0、y=-b所截下部分的曲面面积。
请高手给出详细的求解步骤！书上只有一个基本公式：
曲面积分计算
Snap2.jpg
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科研仅是生活的一小部分
1楼 2014-01-02 22:12:34
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

人力有时而穷
曲面积分计算-1
emuch2.jpg
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We_must_know. We_will_know.
2楼2014-01-07 13:58:04
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
zhengjx: 金币+20, ★★★很有帮助, 非常感谢！交点坐标好像不对。 2014-01-08 11:17:24
（1）第一问   
此处由于圆柱体为(x-a)^2+z^2=R^2，积分区域S在XOZ平面上，是圆(x-a)^2+z^2=R^2和圆x^2+z^2=r^2的交集，设它们的交点分别为P和Q，
    故xP=(r^2-R^2)/(2*a) ； xQ=xP
         zP=sqrt{r^2-xP^2}   ； zQ=-zP
  故而用下列公式求面积而不用楼主写的公式。
A=DoubleIntegral{sqrt[1+(Py/Px)^2+(Py/Pz)^2]*dS,S}
   其中，y=sqrt{r^2-x^2-z^2}, dS=dx*dz
所以：
A=DoubleIntegral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx*dz , S}
  =Integral{dz*Integral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx, a-sqrt[R^2-z^2], sqrt[r^2-z^2]}, zQ, zP}
   =Integral{π/2-ArcSin{[a-sqrt(R^2-z^2)]/sqrt(r^2-z^2)}, zQ, zP}
   =π/2*(zP-zQ)-Integral{ArcSin{[a-sqrt(R^2-z^2)]/sqrt(r^2-z^2)}, zQ, zP}
  =π*zP-2*Integral{ArcSin{[a-sqrt(R^2-z^2)]/sqrt(r^2-z^2)},0, zP}
   后面的积分利用了被积函数的偶函数性质以及积分区间的对称性，但它是个椭圆积分，积不出解析式出来，只能求数值积分。
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3楼2014-01-07 22:06:53
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普通回帖

zhengjx

金虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by peterflyer at 2014-01-07 22:06:53
（1）第一问   
此处由于圆柱体为(x-a)^2+z^2=R^2，积分区域S在XOZ平面上，是圆(x-a)^2+z^2=R^2和圆x^2+z^2=r^2的交集，设它们的交点分别为P和Q，
    故xP=(r^2-R^2)/(2*a) ； xQ=xP
         zP=sqrt{r^2-xP^ ...

参考您的思路
第一问：
1、交点应为Xp=(a^2-R^2+r^2)/(2*a) 。
2、A=DoubleIntegral{sqrt[1+(Py/Px)^2+(Py/Pz)^2]*dS,S}
   其中，y=sqrt{r^2-x^2-z^2}, dS=dx*dz
考虑对称性，
A=DoubleIntegral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx*dz , S}
  =2*Integral{dz*Integral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx}
积分上限x1=r，下限x2=xp，上限z1=zp，下限z2=0。

下一步怎么求，请继续指导！非常感谢！
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科研仅是生活的一小部分
4楼2014-01-08 11:15:56
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zhengjx

金虫 (正式写手)
可否采用柱面坐标求解？高数知识都忘得差不多了，重新看书太难了。
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科研仅是生活的一小部分
5楼2014-01-08 11:19:44
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
4楼: Originally posted by zhengjx at 2014-01-08 11:15:56
参考您的思路
第一问：
1、交点应为Xp=(a^2-R^2+r^2)/(2*a) 。
2、A=DoubleIntegral{sqrt*dS,S}
   其中，y=sqrt{r^2-x^2-z^2}, dS=dx*dz
考虑对称性，
A=DoubleIntegral{r/sqrt*dx*dz , S}
  =2*Integral{ ...

楼主是个细心人，Xp应该是:   Xp=[r^2+a^2-R^2]/(2*a), Zp=Sqrt[r^2-Xp^2].  谢谢指正。关于积分，实在是积不出来。可考虑将积分上下限通过代换变为-1和+1，然后用高斯-勒让德多项式的零点为插值点进行所谓的高斯数值积分运算，这在数值分析教材中都已讲过的，楼主查阅一下教材吧。
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6楼2014-01-08 11:49:13
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zhengjx

金虫 (正式写手)
参考您的思路
第一问：
1、交点应为Xp=(a^2-R^2+r^2)/(2*a) 。
2、A=DoubleIntegral{sqrt[1+(Py/Px)^2+(Py/Pz)^2]*dS,S}
   其中，y=sqrt{r^2-x^2-z^2}, dS=dx*dz
考虑对称性，
A=DoubleIntegral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx*dz , S}
  =2*Integral{dz*Integral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx}
积分上限x1=xp，下限x2=-r，上限z1=zp，下限z2=0。

积分上下限搞错了。
附图片：
曲面积分计算-2
Snap3.jpg
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科研仅是生活的一小部分
7楼2014-01-08 11:49:48
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
4楼: Originally posted by zhengjx at 2014-01-08 11:15:56
参考您的思路
第一问：
1、交点应为Xp=(a^2-R^2+r^2)/(2*a) 。
2、A=DoubleIntegral{sqrt*dS,S}
   其中，y=sqrt{r^2-x^2-z^2}, dS=dx*dz
考虑对称性，
A=DoubleIntegral{r/sqrt*dx*dz , S}
  =2*Integral{ ...

根据积分区域的形状，应该先对x求积分，将被积函数中的x用z表示。积分下限是柱面与y=0的交线：x=a-sqrt(R^2-z^2),为何根式取负号，楼主画一下图就清楚了；积分上限为球面与y=0的交线：x=sqrt(r^2-z^2）,被积函数为r/sqrt[r^2-x^2-z^2]，求出后的一元被积函数变为z的函数，积分上下限分别为ZQ=-Zp和Zp。
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8楼2014-01-08 12:00:27
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
5楼: Originally posted by zhengjx at 2014-01-08 11:19:44
可否采用柱面坐标求解？高数知识都忘得差不多了，重新看书太难了。

用极坐标也得不到简化，因为被积分区域的表达式复杂，不像圆心在坐标原点时那样能大幅减少计算量。
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9楼2014-01-08 12:02:32
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
4楼: Originally posted by zhengjx at 2014-01-08 11:15:56
参考您的思路
第一问：
1、交点应为Xp=(a^2-R^2+r^2)/(2*a) 。
2、A=DoubleIntegral{sqrt*dS,S}
   其中，y=sqrt{r^2-x^2-z^2}, dS=dx*dz
考虑对称性，
A=DoubleIntegral{r/sqrt*dx*dz , S}
  =2*Integral{ ...

内积分，将Z看作常数，只对x积分，楼主应该知道1/sqrt[a^2-u^2]的不定积分为arcSin(u/a)+C吧？
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10楼2014-01-08 12:05:04
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