应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜    

小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 曲面积分计算
131/2返回列表12下一页
查看: 1444  |  回复: 12
只看楼主 @他人 存档 新回复提醒 (忽略) 收藏    在APP中查看

zhengjx

金虫 (正式写手)

[求助] 曲面积分计算 已有2人参与

已知：r、R、a、b>0；R>r。
1、求球体x^2+y^2+z^2=r^2被圆柱体(x-a)^2+z^2=R^2和平面y=0所截下部分的曲面面积。
2、求球体x^2+y^2+z^2=r^2被圆柱体(x-a)^2+z^2=R^2和平面y=0、y=-b所截下部分的曲面面积。
请高手给出详细的求解步骤！书上只有一个基本公式：
曲面积分计算
Snap2.jpg
回复此楼

» 猜你喜欢

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:
科研仅是生活的一小部分
1楼 2014-01-02 22:12:34
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

人力有时而穷
曲面积分计算-1
emuch2.jpg
赞一下(1人) 回复此楼
We_must_know. We_will_know.
2楼2014-01-07 13:58:04
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
zhengjx: 金币+20, ★★★很有帮助, 非常感谢！交点坐标好像不对。 2014-01-08 11:17:24
（1）第一问   
此处由于圆柱体为(x-a)^2+z^2=R^2，积分区域S在XOZ平面上，是圆(x-a)^2+z^2=R^2和圆x^2+z^2=r^2的交集，设它们的交点分别为P和Q，
    故xP=(r^2-R^2)/(2*a) ； xQ=xP
         zP=sqrt{r^2-xP^2}   ； zQ=-zP
  故而用下列公式求面积而不用楼主写的公式。
A=DoubleIntegral{sqrt[1+(Py/Px)^2+(Py/Pz)^2]*dS,S}
   其中，y=sqrt{r^2-x^2-z^2}, dS=dx*dz
所以：
A=DoubleIntegral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx*dz , S}
  =Integral{dz*Integral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx, a-sqrt[R^2-z^2], sqrt[r^2-z^2]}, zQ, zP}
   =Integral{π/2-ArcSin{[a-sqrt(R^2-z^2)]/sqrt(r^2-z^2)}, zQ, zP}
   =π/2*(zP-zQ)-Integral{ArcSin{[a-sqrt(R^2-z^2)]/sqrt(r^2-z^2)}, zQ, zP}
  =π*zP-2*Integral{ArcSin{[a-sqrt(R^2-z^2)]/sqrt(r^2-z^2)},0, zP}
   后面的积分利用了被积函数的偶函数性质以及积分区间的对称性，但它是个椭圆积分，积不出解析式出来，只能求数值积分。
赞一下(1人) 回复此楼
3楼2014-01-07 22:06:53
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
普通回帖

zhengjx

金虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by peterflyer at 2014-01-07 22:06:53
（1）第一问   
此处由于圆柱体为(x-a)^2+z^2=R^2，积分区域S在XOZ平面上，是圆(x-a)^2+z^2=R^2和圆x^2+z^2=r^2的交集，设它们的交点分别为P和Q，
    故xP=(r^2-R^2)/(2*a) ； xQ=xP
         zP=sqrt{r^2-xP^ ...

参考您的思路
第一问：
1、交点应为Xp=(a^2-R^2+r^2)/(2*a) 。
2、A=DoubleIntegral{sqrt[1+(Py/Px)^2+(Py/Pz)^2]*dS,S}
   其中，y=sqrt{r^2-x^2-z^2}, dS=dx*dz
考虑对称性，
A=DoubleIntegral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx*dz , S}
  =2*Integral{dz*Integral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx}
积分上限x1=r，下限x2=xp，上限z1=zp，下限z2=0。

下一步怎么求，请继续指导！非常感谢！
赞一下 回复此楼
科研仅是生活的一小部分
4楼2014-01-08 11:15:56
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

zhengjx

金虫 (正式写手)
可否采用柱面坐标求解？高数知识都忘得差不多了，重新看书太难了。
赞一下 回复此楼
科研仅是生活的一小部分
5楼2014-01-08 11:19:44
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
4楼: Originally posted by zhengjx at 2014-01-08 11:15:56
参考您的思路
第一问：
1、交点应为Xp=(a^2-R^2+r^2)/(2*a) 。
2、A=DoubleIntegral{sqrt*dS,S}
   其中，y=sqrt{r^2-x^2-z^2}, dS=dx*dz
考虑对称性，
A=DoubleIntegral{r/sqrt*dx*dz , S}
  =2*Integral{ ...

楼主是个细心人，Xp应该是:   Xp=[r^2+a^2-R^2]/(2*a), Zp=Sqrt[r^2-Xp^2].  谢谢指正。关于积分，实在是积不出来。可考虑将积分上下限通过代换变为-1和+1，然后用高斯-勒让德多项式的零点为插值点进行所谓的高斯数值积分运算，这在数值分析教材中都已讲过的，楼主查阅一下教材吧。
赞一下 回复此楼
6楼2014-01-08 11:49:13
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

zhengjx

金虫 (正式写手)
参考您的思路
第一问：
1、交点应为Xp=(a^2-R^2+r^2)/(2*a) 。
2、A=DoubleIntegral{sqrt[1+(Py/Px)^2+(Py/Pz)^2]*dS,S}
   其中，y=sqrt{r^2-x^2-z^2}, dS=dx*dz
考虑对称性，
A=DoubleIntegral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx*dz , S}
  =2*Integral{dz*Integral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx}
积分上限x1=xp，下限x2=-r，上限z1=zp，下限z2=0。

积分上下限搞错了。
附图片：
曲面积分计算-2
Snap3.jpg
赞一下 回复此楼
科研仅是生活的一小部分
7楼2014-01-08 11:49:48
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
4楼: Originally posted by zhengjx at 2014-01-08 11:15:56
参考您的思路
第一问：
1、交点应为Xp=(a^2-R^2+r^2)/(2*a) 。
2、A=DoubleIntegral{sqrt*dS,S}
   其中，y=sqrt{r^2-x^2-z^2}, dS=dx*dz
考虑对称性，
A=DoubleIntegral{r/sqrt*dx*dz , S}
  =2*Integral{ ...

根据积分区域的形状，应该先对x求积分，将被积函数中的x用z表示。积分下限是柱面与y=0的交线：x=a-sqrt(R^2-z^2),为何根式取负号，楼主画一下图就清楚了；积分上限为球面与y=0的交线：x=sqrt(r^2-z^2）,被积函数为r/sqrt[r^2-x^2-z^2]，求出后的一元被积函数变为z的函数，积分上下限分别为ZQ=-Zp和Zp。
赞一下 回复此楼
8楼2014-01-08 12:00:27
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
5楼: Originally posted by zhengjx at 2014-01-08 11:19:44
可否采用柱面坐标求解？高数知识都忘得差不多了，重新看书太难了。

用极坐标也得不到简化，因为被积分区域的表达式复杂，不像圆心在坐标原点时那样能大幅减少计算量。
赞一下 回复此楼
9楼2014-01-08 12:02:32
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
4楼: Originally posted by zhengjx at 2014-01-08 11:15:56
参考您的思路
第一问：
1、交点应为Xp=(a^2-R^2+r^2)/(2*a) 。
2、A=DoubleIntegral{sqrt*dS,S}
   其中，y=sqrt{r^2-x^2-z^2}, dS=dx*dz
考虑对称性，
A=DoubleIntegral{r/sqrt*dx*dz , S}
  =2*Integral{ ...

内积分，将Z看作常数，只对x积分，楼主应该知道1/sqrt[a^2-u^2]的不定积分为arcSin(u/a)+C吧？
赞一下 回复此楼
10楼2014-01-08 12:05:04
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
相关版块跳转 我要订阅楼主 zhengjx 的主题更新
131/2返回列表12下一页
普通表情 龙 兔 虎 猫
最具人气热帖推荐 [查看全部] 作者 回/看 最后发表
[基金申请] 建议基金发布提前给出明确的时间点 +10 kulium 2026-08-21 12/600 2026-08-21 19:46 by kulium
[基金申请] 2026国自然函评费到账 +3 羊腰板 2026-08-21 3/150 2026-08-21 19:42 by kulium
[基金申请] 科研孤儿太难了 +16 我4大白菜 2026-08-20 17/850 2026-08-21 19:07 by sakuraai
[基金申请] 时间戳又变了 +13 wuchongjun 2026-08-20 19/950 2026-08-21 17:21 by 紫杉醇
[基金申请] filecode，4个jtjc了 +11 ziyangfang 2026-08-19 14/700 2026-08-21 16:51 by applepetty
[基金申请] 让我中一个面上吧！ +11 大萍1987 2026-08-20 13/650 2026-08-21 14:48 by 20120902066
[基金申请] 我面上完蛋了 +7 且听虎啸 2026-08-20 8/400 2026-08-21 12:31 by 酷酷墨镜
[基金申请] 只有每年这种时候来逛逛小木虫 +23 yaoyewhu2008 2026-08-20 25/1250 2026-08-21 12:19 by Poppy1104
[基金申请] 什么时候开奖？ +7 CrisMessi 2026-08-18 7/350 2026-08-21 12:15 by weiyin
[基金申请] 时间戳又变了8-15 +15 archvillain 2026-08-15 27/1350 2026-08-21 11:32 by tim76
[基金申请] 应该是下周三26日公布了吧？ +4 哈哈蛤？ 2026-08-21 4/200 2026-08-21 10:58 by Vivilian
[基金申请] 今天放榜没戏了吧 +9 yuleib84 2026-08-19 11/550 2026-08-21 10:06 by gltch
[基金申请] 基金啊基金 +4 longfie172 2026-08-20 4/200 2026-08-21 08:58 by mark mao
[基金申请] 时间戳今天，20号变了 +4 archvillain 2026-08-20 4/200 2026-08-21 08:10 by gatelove
[基金申请] 估计是周四 +3 archvillain 2026-08-18 3/150 2026-08-21 01:48 by jnhyjjm
[基金申请] 今天系统多次维护，明天很可能放榜！ +10 zju2000 2026-08-16 11/550 2026-08-20 20:02 by cl479861084
[基金申请] 重要消息，中午系统在维护 +11 yuleib84 2026-08-18 12/600 2026-08-20 11:09 by xskun
[教师之家] 为什么余额宝的年化利率越来越低？主要原因有哪些？ +5 瞬息宇宙 2026-08-15 5/250 2026-08-19 20:23 by super2002521
[基金申请] 明天放榜？ +5 Shxjjxjkx 2026-08-18 5/250 2026-08-18 18:14 by -大大大大大-
[基金申请] 93BebMhtakh前后11位开头都是大写 +4 且听虎啸 2026-08-17 5/250 2026-08-18 00:49 by 蔡棒棒菂
信息提示
关闭
请填处理意见
关闭