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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 几个数学分析问题求助
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heyinprc

金虫 (小有名气)

[求助] 几个数学分析问题求助

1.设在R上二阶连续可微，,求证：.

2.设，求证
（1）;
（2）存在且连续。
（3）

3.若级数发散，证明：存在收敛于零的正项级数,使得级数发散。

参见下图：
几个数学分析问题求助
que.gif

[ Last edited by feixiaolin on 2013-12-8 at 19:56 ]
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1楼 2013-12-08 12:00:16
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qy_fighting

铜虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
heyinprc(feixiaolin代发): 金币+10 2013-12-10 07:50:41
heyinprc: 金币+5, ★★★很有帮助, 1）与3）我确实是这样写的，不过1）我觉得自己这样写好像不太严谨。 2013-12-10 21:01:22
1）考虑g(x)=[f(x)]^2+[f'(x)]^2
2)  结合一致收敛性，和Parseval定理
3）bn=1/Sn ,Sn=a1+a2+,...,+an 应该可以吧
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2楼2013-12-09 00:33:06
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laosam280

禁虫 (正式写手)
感谢参与，应助指数 +1
本帖内容被屏蔽
3楼2013-12-09 11:01:23
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heyinprc

金虫 (小有名气)
本楼稍后也贴出自己的证明共大家提建议
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4楼2013-12-10 21:02:19
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
heyinprc(feixiaolin代发): 金币+5 2013-12-11 20:28:29
引用回帖:
4楼: Originally posted by heyinprc at 2013-12-10 21:02:19
本楼稍后也贴出自己的证明共大家提建议

第二题：
利用 Sum_{n=1}^Infinity n* x^n = x/ (1-x)^2, 证明
f(0)= e/ (e-1)^2 > 2/e;  f(Pi) = - e/ (e+1)^2. 进一步证明
存在0<x<Pi 使得 f’(x)= ( f(0)-f(Pi) ) /Pi = 2e/Pi * (e^2+1)/(e^2-1) > 2e/Pi.  

第一题：我们假设命题不成立， 不妨设f(x) + f’’(x) >0. (否则可以考虑h(x)= -f(x), 它满足同样假设, 但是 h(x)+ h’’(x) >0 ). 不妨设 f’(0) >0, 否则可以考虑 f(-x).

考虑函数 g(x):= Integral_0^x  [(x-t)*f(t)] dt + f(x)- f(0) -x * f’(0).
这个函数是特意设计满足 g(0)=g’(0)=0, g’’(x)= f(x) +f”(x).
g’’(x) >0 指 g(x) 是凸函数， 在R上有唯一最小值 g(0)=0.

记f’(0)=a. 考虑 x=a, 那么 g(a)>0 以及 |f(x)| <=1 推出
Integral_0^ a (a -t)dt  > f(0) -f(a) +  a^2.  即 1/2*a^2 > f(0) -f(a) + a^2.
如果 f(0) >=0, , f(a) > f(0)/2 + ( f(0) + a^2)/2 >=2, 不可能的。
所以 f(0) <0.
这时，一个凸函数在上升段只能越升越快，我们断言存在f(d)=0 并且 d>0. 如果取d 使得f(x)在(0, d) 之间再无零点， 那么 f’(d) > f’(0)> sqrt(3) >d >0.

这时考虑 Integral_d^ x [(x-t)*f(t)] dt + f(x)- f(d) -x * f’(d). 并且取 x=f’(d),
那么应该有 f ( f’(d)) > 1/2 * f’(d)^2. 这是不可能的。

这勉强算是个七拼八凑的解答吧。
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We_must_know. We_will_know.
5楼2013-12-11 00:30:41
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迷失的心

铜虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by laosam280 at 2013-12-09 11:01:23
第一题很有意思，我觉得题目中的第二个条件甚至都不是必须的。
只需要函数二阶连续可微，且绝对值小于1即可。
我的证明思路如下，考虑函数cos(x)，这个函数满足绝对值小于1，并且cos(x)+cos''(x)=0，
所以只需要 ...

我的见解如下：
几个数学分析问题求助-1
1.png
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努力才能做到最好
6楼2013-12-11 22:04:00
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heyinprc

金虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by 迷失的心 at 2013-12-11 22:04:00
我的见解如下：

1.png
...

我的证明结果如下，请大家批评指正。
几个数学分析问题求助-2
YP20131211220209.jpg


几个数学分析问题求助-3
YP20131211220231.jpg
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7楼2013-12-11 22:11:07
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